5 Se da un entero $N \ge 2$ . Una colección de $N(N + 1)$ futbolistas, de los cuales no hay dos de la misma estatura, se colocan en una fila. Sir Alex quiere eliminar $N(N - 1)$ jugadores de esta fila dejando una nueva fila de $2N$ jugadores en la que se cumplen las siguientes $N$ condiciones: ( $1$ ) nadie se encuentra entre los dos jugadores más altos, ( $2$ ) nadie se encuentra entre el tercero y el cuarto jugadores más altos, $\;\;\vdots$ ( $N$ ) nadie se encuentra entre los dos jugadores más bajos. Muestre que esto siempre es posible. Propuesto por Grigory Chelnokov, Rusia

18 Las alturas trazadas desde los vértices $ A,B,C$ de un triángulo acutángulo $ ABC$ cortan a los lados opuestos en $ D,E, F,$ respectivamente. La recta que pasa por $ D$ paralela a $ EF$ corta a las rectas $ AC$ y $ AB$ en $ Q$ y $ R,$ respectivamente. La recta $ EF$ corta a $ BC$ en $ P.$ Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $ PQR$ pasa por el punto medio de $ BC.$

A6 Sea $n$ un entero fijo con $n \ge 2$ . Decimos que dos polinomios $P$ y $Q$ con coeficientes reales son bloque-similares si para cada $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$ las sucesiones \begin{eqnarray*} P(2015i), P(2015i - 1), \ldots, P(2015i - 2014) & \text{and}\\ Q(2015i), Q(2015i - 1), \ldots, Q(2015i - 2014) \end{eqnarray*} son permutaciones la una de la otra. (a) Demuestre que existen polinomios bloque-similares distintos de grado $n + 1$ . (b) Demuestre que no existen polinomios bloque-similares distintos de grado $n$ . Propuesto por David Arthur, Canadá

17 Encuentre todos los pares $ (a,b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación: $ a^{b^2} = b^a$ .

3 Sean $ a$ , $ b$ y $ c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestre que \[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0. \] Determine cuándo se produce la igualdad. ashwath.rabindranath

54 $(POL 3)$ Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros cuyo valor es divisible por $3$ para tres enteros $k, k + 1$ y $k + 2$. Demuestra que $f(m)$ es divisible por $3$ para todos los enteros $m$.

6 Llamamos a un grafo con n vértices $k-flowing-chromatic$ si: 1. podemos colocar una ficha en cada vértice y cualesquiera dos fichas vecinas (conectadas por una arista) tienen colores diferentes. 2. podemos elegir un ciclo hamiltoniano $v_1,v_2,\cdots , v_n$ , y mover la ficha en $v_i$ a $v_{i+1}$ con $i=1,2,\cdots ,n$ y $v_{n+1}=v_1$ , tal que cualesquiera dos fichas vecinas también tienen colores diferentes. 3. después de alguna acción del paso 2 podemos hacer que todas las fichas alcancen cada uno de los n vértices. Sea T(G) el menor número k tal que G es k-flowing-chromatic. Si tal k no existe, denote T(G)=0. Denote $\chi (G)$ el número cromático de G. Halle todos los números positivos m tales que existe un grafo G con $\chi (G)\le m$ y $T(G)\ge 2^m$ sin un ciclo de longitud menor que 2017. sengeki-niju

B3 Sea $n$ un entero positivo y sea $\omega = e^{2\pi i / n}$ . Suponga que $z_1, z_2, \ldots, z_n$ son números complejos distintos. Defina $A$ como la matriz $n \times n$ cuya entrada $(j,k)$ - ésima es $(z_j - \omega^k)^n$ , para $1 \le j, k \le n$ . Dado que $\det A = 0$ , demuestre que $z_1 z_2 \cdots z_n = 1.$

A2 Determine todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ con la propiedad de que \[f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\] se cumple para todos $x,y\in\mathbb{Z}$ .

A5 Sea $n$ un entero con $n \ge 2$. Para una sucesión $s=(s_1,\dots,s_{n-1})$ donde cada $s_i=\pm 1$, sea $f(s)$ el número de permutaciones $(a_1,\dots,a_n)$ de $\{1,2,\dots,n\}$ tales que $s_i(a_{i+1}-a_i)>0$ para todo $i$. Para cada $n$, determina las sucesiones $s$ para las cuales $f(s)$ es máximo.