6 Sea $n$ un entero positivo y sean $(x_1,\ldots,x_n)$ , $(y_1,\ldots,y_n)$ dos sucesiones de números reales positivos. Suponga que $(z_2,\ldots,z_{2n})$ es una sucesión de números reales positivos tal que $z_{i+j}^2 \geq x_iy_j$ para todos $1\le i,j \leq n$ . Sea $M=\max\{z_2,\ldots,z_{2n}\}$ . Demuestre que \[ \left( \frac{M+z_2+\dots+z_{2n}}{2n} \right)^2 \ge \left( \frac{x_1+\dots+x_n}{n} \right) \left( \frac{y_1+\dots+y_n}{n} \right). \] comentario Editado por Orl. Propuesto por Reid Barton, EE. UU.

2 Sean $D_1$ , $D_2$ , ..., $D_n$ discos cerrados en el plano. (Un disco cerrado es la región limitada por un círculo, tomada conjuntamente con dicho círculo.) Suponga que todo punto del plano está contenido en a lo sumo $2003$ discos $D_i$ . Demuestre que existe un disco $D_k$ que interseca a lo sumo $7\cdot 2003 - 1 = 14020$ otros discos $D_i$ .

3 Sea $n \geq 5$ un entero dado. Determine el mayor entero $k$ para el cual existe un polígono con $n$ vértices (convexo o no, con frontera que no se auto-interseca) que tiene $k$ ángulos rectos internos. Propuesto por Juozas Juvencijus Macys, Lituania

4 Sean $x_1,\ldots, x_n$ y $y_1,\ldots, y_n$ números reales. Sea $A = (a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ la matriz con entradas \[a_{ij} = \begin{cases}1,&\text{if }x_i + y_j\geq 0;\\0,&\text{if }x_i + y_j < 0.\end{cases}\] Suponga que $B$ es una matriz $n\times n$ con entradas $0$ , $1$ tal que la suma de los elementos de cada fila y cada columna de $B$ es igual a la suma correspondiente de la matriz $A$ . Demuestre que $A=B$ .

6 Sea $f(k)$ el número de enteros $n$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $0\leq n < 10^k$ , de modo que $n$ tiene exactamente $k$ dígitos (en notación decimal), permitiendo ceros a la izquierda; (ii) los dígitos de $n$ pueden permutarse de manera que den un entero divisible por $11$ . Demuestre que $f(2m) = 10f(2m-1)$ para todo entero positivo $m$ . Propuesto por Dirk Laurie, Sudáfrica

1 Para cada entero $a_0 > 1$ , defina la sucesión $a_0, a_1, a_2, \ldots$ para $n \geq 0$ como $$a_{n+1} = \begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{if } \sqrt{a_n} \text{ is an integer,} \\ a_n + 3 & \text{otherwise.} \end{cases} $$ Determine todos los valores de $a_0$ tales que existe un número $A$ tal que $a_n = A$ para infinitos valores de $n$ . Propuesto por Stephan Wagner, Sudáfrica

2 Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x$ e $y$ , \[ f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy). \] Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

2016.5 Sea $[ABCD]$ un paralelogramo con $AB < BC$ y sean $E, F$ puntos sobre la circunferencia que pasa por $A, B$ y $C$ tales que $DE$ y $DF$ son tangentes a esta circunferencia. Sabiendo que $\angle ADE = \angle CDF$, determina $\angle ABC$.

1 Halle el mayor valor de la expresión \[ \frac{1}{x^2-4x+9}+\frac{1}{y^2-4y+9}+\frac{1}{z^2-4z+9} \] donde $x$ , $y$ , $z$ son números reales no negativos tales que $x+y+z=1$ .

1 Calcula $\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}$ .