Alice y Bob están jugando al 'juego de la factorización'. En el papel, está escrito $270000(=2^43^35^4)$ y cada persona elige un número del papel (llamémoslo $N$ ) y borra $N$ y escribe enteros $X,Y$ tales que $N=XY$ y $\text{gcd}(X,Y)\ne1.$ Alice va primero y la persona que ya no puede hacer esta factorización pierde. Si dos personas usan una estrategia óptima, prueba que Alice siempre gana.

Dado que para los números reales $a_1,\cdots, a_{2004},$ la ecuación $x^{2006}-2006x^{2005}+a_{2004}x^{2004}+\cdots +a_2x^2+a_1x+1=0$ tiene $2006$ soluciones reales positivas, encuentra el valor máximo posible de $a_1.$

Sean $a_1, a_2, \cdots a_{100}$ una permutación de $1,2,\cdots 100$. Define $l(k)$ como el máximo $m$ tal que existe $i_1, i_2 \cdots i_m$ tal que $a_{i_1} > a_{i_2} > \cdots > a_{i_m}$ o $a_{i_1} < a_{i_2} < \cdots < a_{i_m}$, donde $i_1=k$ y $i_1<i_2< \cdots <i_m$ Encuentra el valor mínimo posible para $\sum_{i=1}^{100} l(i)$.

Sea un triángulo $\triangle ABC$ con $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Sea $T$ un punto no dentro de $\triangle ABC$ y en el mismo lado de $A$ con respecto a $BC$, tal que $BT-CT=c-b$. Sean $n=BT$ y $m=CT$. Encuentra el punto $P$ que minimiza $f(P)=-a \cdot AP + m \cdot BP + n \cdot CP$.

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(n,t)$ tales que $6^n+1=n^2t$, y $(n,29 \times 197)=1$

Sea un triángulo acutángulo $ABC$ con ortocentro $H$. Sean $BH, CH$ que golpean el circuncírculo de $\triangle ABC$ en $D, E$. Sea $P$ un punto en $AB$, entre $B$ y el pie de la perpendicular desde $C$ a $AB$. Sea $PH \cap AC = Q$. Ahora el circuncírculo de $\triangle AEP$ golpea $CH$ en $S$, el circuncírculo de $\triangle ADQ$ golpea $BH$ en $R$, y el circuncírculo de $\triangle AEP$ golpea el circuncírculo de $\triangle ADQ$ en $J (\not=A)$. Demuestra que $RS$ es la bisectriz perpendicular de $HJ$.

Sean $x,y,z \ge 0$ números reales tales que $(x+y-1)^2+(y+z-1)^2+(z+x-1)^2=27$. Encuentra el máximo y el mínimo de $x^4+y^4+z^4$

$p, q, r$ son números naturales mayores que 1. Hay $pq$ bolas colocadas en un círculo, y un número entre $0, 1, 2, \cdots , pr-1$ está escrito en cada bola, satisfaciendo las siguientes condiciones. (1) Si $i$ y $j$ están escritos en dos bolas adyacentes, $|i-j|=1$ o $|i-j|=pr-1$. (2) $i$ está escrito en una bola $A$. Si saltamos $q-1$ bolas en el sentido de las agujas del reloj desde $A$ y vemos la bola $q^{th}$, $i+r$ o $i-(p-1)r$ está escrito en ella. (Esta condición se satisface para cada bola.) Si $p$ es par, demuestra que el número de pares de dos bolas adyacentes con $1$ y $2$ escrito en ellas es impar.

Sea un triángulo acutángulo $ABC$, tal que $\angle ABC < \angle ACB$. Sea la perpendicular desde $A$ a $BC$ que golpea el circuncírculo de $ABC$ en $D$, y sea $M$ el punto medio de $AD$. La tangente al circuncírculo de $ABC$ en $A$ golpea la bisectriz perpendicular de $AD$ en $E$, y el circuncírculo de $MDE$ golpea el circuncírculo de $ABC$ en $F$. Sea $G$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BD$, y $N$ el punto medio de $AG$. Demuestra que $B, N, F$ son colineales.

Resolver: $a, b, m, n\in \mathbb{N}$ $a^2+b^2=m^2-n^2, ab=2mn$