Hay $n$ puntos de la red en una posición general. (ningún tres puntos son colineales) Un polígono convexo $P$ cubre los dichos $n$ puntos. (las fronteras están incluidas) Demuestra que, para un $n$ suficientemente grande y un real positivo $\epsilon$, el perímetro de $P$ no es menor que $(\sqrt{2}+\epsilon)n$.

Hay tres círculos $w_1, w_2, w_3$. Sean $w_{i+1} \cap w_{i+2} = A_i, B_i$, donde $A_i$ está dentro de $w_i$. Sea $\gamma$ el círculo que está dentro de $w_1,w_2,w_3$ y es tangente a los tres círculos dichos en $T_1, T_2, T_3$. Sean los circuncírculos de $T_iA_{i+1}T_{i+2}$ y los circuncírculos de $T_iA_{i+2}T_{i+1}$ se encuentran en $S_i$. Demuestra que los circuncírculos de $A_iB_iS_i$ se encuentran en dos puntos. ( $1 \le i \le 3$ , índices tomados módulo $3$ ) Si uno de $A_i,B_i,S_i$ son colineales - las intersecciones de los otros dos círculos se encuentran en esta línea. Demuestra esto también.

Sean $a_i, b_i$ ( $1 \le i \le n$ , $n \ge 2$ ) números reales positivos tales que $\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i$. Demuestra que $\sum_{i=1}^n \frac{(a_{i+1}+b_{i+1})^2}{n(a_i-b_i)^2+4(n-1)\sum_{j=1}^n a_jb_j} \ge \frac{1}{n-1}$

Encuentra todas las $\{a_n\}_{n\ge 0}$ que satisfacen las siguientes condiciones. (1) $a_n\in \mathbb{Z}$ (2) $a_0=0, a_1=1$ (3) Para infinitamente muchos $m$, $a_m=m$ (4) Para cada $n\ge2$, $\{2a_i-a_{i-1} | i=1, 2, 3, \cdots , n\}\equiv \{0, 1, 2, \cdots , n-1\}$ $\mod n$

$p(x)$ es un polinomio irreducible con coeficientes enteros, y $q$ es un número primo fijo. Sea $a_n$ el número de soluciones de la ecuación $p(x)\equiv 0\mod q^n$. Demuestra que podemos encontrar $M$ tal que $\{a_n\}_{n\ge M}$ es constante.

Determina todas las funciones $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfacen lo siguiente. $f(xf(y)+yf(z)+zf(x))=yf(x)+zf(y)+xf(z)$

Dado un entero $n\geq 3$. Para cada cuadrado de $3\times3$ en la cuadrícula, llama a este cuadrado de $3\times3$ aislado si el cuadrado unitario central es blanco y los otros 8 cuadrados son negros, o el cuadrado unitario central es negro y los otros 8 cuadrados son blancos. Ahora supón que uno puede pintar una cuadrícula infinita con blanco o negro, de modo que uno pueda seleccionar un rectángulo de $a\times b$ que contenga al menos $n^2-n$ cuadrados de $3\times 3$ aislados. Encuentra el mínimo de $a+b$ para que tal cosa pueda suceder. (Ten en cuenta que $a,b$ son reales positivos, y el rectángulo de $a\times b$ seleccionado puede tener lados no paralelos a la línea de la cuadrícula infinita.)

Hay un círculo $\omega$ y $A, B$ en él. El círculo $\gamma_1$ es tangente a $\omega$ en $T$ y $AB$ en $D$. El círculo $\gamma_2$ es tangente a $\omega$ en $S$ y $AB$ en $E$. (como en la figura de abajo) Sea $AB\cap TS=C$. Demuestra que $CA=CB$ si y solo si $CD=CE$

$n$ es un número natural mayor que $3$ y denotamos todos los números coprimos positivos con $n$ como $1= b_1 < b_2 < \cdots b_k$. Para un entero positivo $m$ que es mayor que $3$ y es coprimo con $n$, sea $A$ el conjunto de tuplas $(a_1,a_2, \cdots a_k)$ que satisfacen la condición.\n$$\textbf{Condición}: \text{Para todos los enteros } i, 0 \le a_i < m \text{ y } a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots a_kb_k \text{ es un múltiplo de } n$$\nPara los elementos de $A$, demuestre que la diferencia del número de elementos tales que $a_1 = 1$ y el número de elementos tales que $a_2 = 2$ máximo $1$

Determine el valor más pequeño de $M$ para el cual, para cualquier elección de entero positivo $n$ y números reales positivos $x_1<x_2<\ldots<x_n \le 2023$ la desigualdad\n$$\sum_{1\le i < j \le n , x_j-x_i \ge 1} 2^{i-j}\le M$$se cumple.