Encuentre todos los enteros positivos $m$ tales que existan enteros $x$ e $y$ que satisfagan $$m \mid x^2+11y^2+2022.$$

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incentro $I$ y sea $AI$ que se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ nuevamente en $M$ . La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $AB, AC$ en $D, E$ , respectivamente. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $BDE$ y sea $L$ la intersección de $\omega$ y la altura de $A$ a $BC$ de modo que $A$ y $L$ se encuentren en el mismo lado con respecto a $DE$ . Denotemos por $\Omega$ un círculo centrado en $O$ y que pasa por $L$ , y sea $AL$ que se encuentra con $\Omega$ nuevamente en $N$ . Demuestre que las líneas $LD$ y $MB$ se encuentran en la circunferencia circunscrita del triángulo $LNE$ .

Se da una función $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que su rango es un conjunto finito. Encuentre todas las funciones $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen $$2f(x+g(y))=f(2g(x)+y)+f(x+3g(y))$$ para todos los $x, y \in \mathbb{R}$ .

Hay $n$ cajas $A_1, ..., A_n$ con un número no negativo de piedras dentro de ellas (por lo que puede estar vacía). Sea $a_n$ el número de piedras en la caja $A_n$ . Hay un total de $3n$ piedras en las cajas. De ahora en adelante, Alice realiza la siguiente operación. En cada operación, Alice elige una de estas cajas que no está vacía. Luego, divide estas piedras en $n$ grupos de tal manera que la diferencia del número de piedras en dos grupos cualesquiera es como máximo 1, y coloca estos $n$ grupos de piedras en $n$ cajas una por una. Esto continúa hasta que solo una caja tiene todas las piedras y el resto están vacías. Y cuando termina, define $Length$ como el número total de operaciones realizadas por Alice. Sea $f(a_1, ..., a_n)$ el valor más pequeño de $Length$ entre todas las operaciones posibles en $(a_1, ..., a_n)$ . Encuentre el valor máximo posible de $f(a_1, ..., a_n)$ entre todos los pares ordenados $(a_1, ..., a_n)$ , y encuentre todos los pares ordenados $(a_1, ..., a_n)$ que cumplan la igualdad.

$27$ estudiantes reciben un número del $1$ al $27.$ ¿De cuántas maneras se pueden dividir $27$ estudiantes en $9$ grupos de $3$ con la siguiente condición?\n(i) La suma del número de estudiantes en cada grupo es $1\pmod{3}$\n(ii) No hay dos estudiantes donde su numeración difiera en $3.$

Los puntos $A,B,C,D,E,F$ están en el círculo $O.$ Una línea $\ell$ es tangente a $O$ en $E$ es paralela a $AC$ y $DE>EF.$ Sean $P,Q$ la intersección de $\ell$ y $BC,CD$ ,respectivamente y sean $R,S$ la intersección de $\ell$ y $CF,DF$ ,respectivamente. Muestra que $PQ=RS$ si y solo si $QE=ER.$

Prueba que para cualquier número real positivo $x,y$ y $z,$ $xyz(x+2)(y+2)(z+2)\le(1+\frac{2(xy+yz+zx)}{3})^3$

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $\phi(n)$ es la cuarta potencia de algún primo.

En el círculo $O,$ seis puntos $A,B,C,D,E,F$ están en el círculo en sentido antihorario. $BD$ es el diámetro del círculo y es perpendicular a $CF.$ Además, las líneas $CF, BE, AD$ son concurrentes. Sea $M$ el pie de la altura desde $B$ a $AC$ y sea $N$ el pie de la altura desde $D$ a $CE.$ Prueba que el área de $\triangle MNC$ es menor que la mitad del área de $\square ACEF.$

Para tres enteros positivos $a,b$ y $c,$ si $\text{gcd}(a,b,c)=1$ y $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca),$ prueba que todos $a,b,c$ son cuadrados perfectos.