Encuentre todas las ternas $(m,p,q)$ donde $ m $ es un entero positivo y $ p , q $ son primos.\n$ 2^m p^2 + 1 = q^5 $

Hay $n$ estudiantes $ A_1 , A_2 , \cdots , A_n $ y algunos de ellos se dieron la mano entre sí. ( $ A_i $ y $ A_j$ pueden darse la mano más de una vez). Sea el estudiante $ A_i $ que dio la mano $ d_i $ veces. Suponga que $ d_1 + d_2 + \cdots + d_n > 0 $ . Demuestre que existen $ 1 \le i < j \le n $ que satisfacen las siguientes condiciones:\n(a) Dos estudiantes $ A_i $ y $ A_j $ se dieron la mano entre sí.\n(b) $ \frac{(d_1 + d_2 + \cdots + d_n ) ^2 }{n^2 } \le d_i d_j $

Sea $ ABC $ un triángulo obtuso con $ \angle A > 90^{\circ} $ . Sea el círculo $ O $ el circuncírculo de $ ABC $ . $ D $ es un punto que se encuentra en el segmento $ AB $ tal que $ AD = AC $ . Sea $ AK $ el diámetro del círculo $ O $ . Dos líneas $ AK $ y $ CD $ se encuentran en $ L $ . Un círculo que pasa por $ D, K, L $ se encuentra con el círculo $ O $ en $ P ( \ne K ) $ . Dado que $ AK = 2, \angle BCD = \angle BAP = 10^{\circ} $ , demuestre que $ DP = \sin ( \frac{ \angle A}{2} ) $ .

Para cualquier permutación $ f : \{ 1, 2, \cdots , n \} \to \{1, 2, \cdots , n \} $ , define \[ A = \{ i | i > f(i) \} \] \[ B = \{ (i, j) | i<j \le f(j) < f(i) \ or \ f(j) < f(i) < i < j \} \] \[ C = \{ (i, j) | i<j \le f(i) < f(j) \ or \ f(i) < f(j) < i < j \} \] \[ D = \{ (i, j) | i< j \ and \ f(i) > f(j)\} \] Demuestra que $ |A| + 2|B| + |C| = |D| $ .

Se dan dos enteros positivos coprimos $ a, b $ . La secuencia de enteros $ \{ a_n \}, \{b_n \} $ satisface \[ (a+b \sqrt2 )^{2n} = a_n + b_n \sqrt2 \] Encuentra todos los números primos $ p $ tales que existe un entero positivo $ n \le p $ que satisface $ p | b_n $ .

Para un triángulo $ ABC $ , sean $ B_1 ,C_1 $ los excentros de $ B, C $ . La línea $B_1 C_1 $ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ \triangle ABC $ en el punto $ D (\ne A) $ . $ E $ es el punto que satisface $ B_1 E \bot CA $ y $ C_1 E \bot AB $ . Sea $ w $ la circunferencia circunscrita de $ \triangle ADE $ . La tangente al círculo $ w $ en $ D $ se encuentra con $ AE $ en $ F $ . $ G , H $ son los puntos en $ AE, w $ tales que $ DGH \bot AE $ . La circunferencia circunscrita de $ \triangle HGF $ se encuentra con $ w $ en el punto $ I (\ne H ) $ , y $ J $ sea el pie de la perpendicular desde $ D $ hasta $ AH $ . Demuestra que $ AI $ pasa por el punto medio de $ DJ $ .

Para un entero positivo $n \ge 2 $ , define el conjunto $ T = \{ (i,j) | 1 \le i < j \le n , i | j \} $ . Para números reales no negativos $ x_1 , x_2 , \cdots , x_n $ con $ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1 $ , encuentra el valor máximo de \[ \sum_{(i,j) \in T} x_i x_j \] en términos de $n$ .

Para un triángulo $ \triangle ABC (\angle B > \angle C) $ , $ D $ es un punto en $ AC $ que satisface $ \angle ABD = \angle C $ . Sea $ I $ el incentro de $ \triangle ABC $ , y la circunferencia circunscrita de $ \triangle CDI $ se encuentra con $ AI $ en $ E ( \ne I ) $ . La línea que pasa por $ E $ y es paralela a $ AB $ se encuentra con la línea $ BD $ en $ P $ . Sea $ J $ el incentro de $ \triangle ABD $ , y $ A' $ sea el punto tal que $ AI = IA' $ . Sea $ Q $ el punto de intersección de $ JP $ y $ A'C $ . Demuestra que $ QJ = QA' $ .

$T$ es un conjunto de todos los enteros positivos de la forma $2^k 3^l$, donde $k, l$ son algunos enteros no negativos. Demuestre que existen $1998$ elementos diferentes de $T$ que satisfacen la siguiente condición. Condición La suma de los $1998$ elementos es nuevamente un elemento de $T$.

$O$ es la circunferencia circunscrita del triángulo no isósceles $ABC$ y la bisectriz del ángulo $A$ se encuentra con $BC$ en $D$. Si la línea perpendicular a $BC$ que pasa por $D$ se encuentra con $AO$ en $E$, demuestre que $ADE$ es un triángulo isósceles.