Para los reales positivos $a \geq b \geq c \geq 0$ pruebe la siguiente desigualdad: $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}+\frac{c+a}{c+b}$$

Un $2n$ - gono regular está inscrito en el círculo unitario. Encuentre la suma de los cuadrados de todos los lados y las longitudes diagonales en el $2n$ - gono.

$n$ líneas están en el mismo plano, no hay dos de ellas paralelas y no hay tres de ellas colineales (por lo que el plano debe dividirse en algunas partes). ¿En cuántas partes se divide el plano? Considere solo las particiones con área finitamente grande.

$O$ es el circuncentro de $ABC$, y $H$ es el ortocentro de $ABC$. Si $D$ es el punto medio de $AC$ y $E$ es la intersección de $BO$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ que no es $B$, demostrar que los tres puntos $H, D, E$ son colineales.

Hay $6$ computadoras (apagadas) y $3$ impresoras. Entre una impresora y una computadora, están conectadas con un cable o no. La impresora solo se puede activar si y solo si al menos una de las computadoras conectadas está encendida. El objetivo es conectar los cables de tal manera que, sin importar cómo elija tres computadoras para encender entre las seis, pueda activar las $3$ impresoras. ¿Cuál es el número mínimo de cables necesarios para que esto sea posible?

Demostrar que no existen soluciones enteras $(x, y, z)$ para la ecuación $$x^3+2y^3+4z^3=9$$

Hay un tablero de ajedrez con $m$ columnas y $n$ filas. En cada espacio en blanco, se da un entero. Si un rectángulo $R$ (en este tablero de ajedrez) tiene un entero $h$ que satisface las siguientes dos condiciones, llamamos a $R$ como un 'estante'. (i) Todos los enteros contenidos en $R$ son mayores que $h$ . (ii) Todos los enteros en los espacios en blanco, que no están contenidos en $R$ pero se encuentran con $R$ en un vértice o un lado, no son mayores que $h$ . Asumir que todos los enteros se dan para hacer estantes tanto como sea posible. Encontrar el número de estantes.

$ABC$ es un triángulo tal que $AC<AB<BC$ y $D$ es un punto en el lado $AB$ que satisface $AC=AD$ . La circunferencia circunscrita de $ABC$ se encuentra con la bisectriz del ángulo $A$ de nuevo en $E$ y se encuentra con $CD$ de nuevo en $F$ . $K$ es un punto de intersección de $BC$ y $DE$ . Demostrar que $CK=AC$ es una condición necesaria y suficiente para $DK \cdot EF = AC \cdot DF$ .

Encontrar el valor máximo de la siguiente expresión, si $a,b,c$ son no negativos y $a+b+c=1$ . \[ \frac{1}{a^2 -4a+9} + \frac {1}{b^2 -4b+9} + \frac{1}{c^2 -4c+9} \]

Hay $n$ niños $a_1, a_2, \ldots, a_n$ y $n$ niñas $b_1, b_2, \ldots, b_n $ . Algunos pares de ellos están conectados. Ningún par de niños o dos niñas están conectados, y $a_i$ y $b_i$ no están conectados para todo $i \in \{ 1,2,\ldots,n\}$ . Ahora todos los niños y niñas se dividen en varios grupos que satisfacen dos condiciones: (i) Cada grupo contiene un número igual de niños y niñas. (ii) No hay ningún par conectado en el mismo grupo. Asumir que el número de pares conectados es $m$ . Mostrar que podemos hacer que el número de grupos no sea mayor que $\max\left \{2, \dfrac{2m}{n} +1\right \}$ .