Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $\omega$ su circuncírculo. Sea la línea perpendicular de $A$ a $BC$ que se encuentra con $\omega$ en $D$ . Sea $P$ un punto en $\omega$ , y sea $Q$ el pie de la línea perpendicular de $P$ a la línea $AB$ . Demuestre que si $Q$ está en el exterior de $\omega$ y $2\angle QPB = \angle PBC$ , entonces $D,P,Q$ son colineales.

Para $n \ge 3$ , sean $S=a_1+a_2+\cdots+a_n$ y $T=b_1b_2\cdots b_n$ para números reales positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n, b_1,b_2 ,\ldots,b_n$ , donde los números $b_i$ son distintos por pares.\n(a) Encuentre el número de ceros reales distintos del polinomio\n\[f(x)=(x-b_1)(x-b_2)\cdots(x-b_n)\sum_{j=1}^n \frac{a_j}{x-b_j}\]\n(b) Demuestre la desigualdad\n\[\frac1{n-1}\sum_{j=1}^n \left(1-\frac{a_j}{S}\right)b_j > \left(\frac{T}{S}\sum_{j=1}^{n} \frac{a_j}{b_j}\right)^{\frac1{n-1}}\]

Los siguientes hechos son conocidos en un concurso de matemáticas:\n(a) El número de problemas evaluados fue $n\ge 4$\n(b) Cada problema fue resuelto por exactamente cuatro concursantes.\n(c) Para cada par de problemas, hay exactamente un concursante que resolvió ambos problemas.\nSuponiendo que el número de concursantes es mayor o igual a $4n$ , encuentre el valor mínimo de $n$ para el cual siempre existe un concursante que resolvió todos los problemas.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que satisfacen $f(x-y)=f(x)+xy+f(y)$ para todo $x \in \mathbb{R}$ y todo $y \in \{f(x) \mid x\in \mathbb{R}\}$, donde $\mathbb{R}$ es el conjunto de los números reales.

Para un primo $p$ de la forma $12k+1$ y $\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\cdots,p-1\}$ , sea \[\mathbb{E}_p=\{(a,b) \mid a,b \in \mathbb{Z}_p,\quad p\nmid 4a^3+27b^2\}\] Para $(a,b), (a',b') \in \mathbb{E}_p$ decimos que $(a,b)$ y $(a',b')$ son equivalentes si existe un elemento no nulo $c\in \mathbb{Z}_p$ tal que $p\mid (a' -ac^4)$ y $p\mid (b'-bc^6)$ . Encuentre el número máximo de elementos no equivalentes en $\mathbb{E}_p$ .

Un conjunto $P$ consta de $2005$ números primos distintos. Sea $A$ el conjunto de todos los productos posibles de $1002$ elementos de $P$ , y $B$ sea el conjunto de todos los productos de $1003$ elementos de $P$ . Encontrar una correspondencia biunívoca $f$ de $A$ a $B$ con la propiedad de que $a$ divide a $f (a)$ para todo $a \in A.$

Encontrar todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que tanto $3^{m}+1$ como $3^{n}+1$ son divisibles por $mn$ .

En lo siguiente, el punto de intersección de dos líneas $ g$ y $ h$ se abreviará como $ g\cap h$ . Supongamos que $ ABC$ es un triángulo en el que $ \angle A = 90^{\circ}$ y $ \angle B > \angle C$ . Sea $ O$ el circuncírculo del triángulo $ ABC$ . Sean $ l_{A}$ y $ l_{B}$ las tangentes al círculo $ O$ en $ A$ y $ B$ , respectivamente. Sea $ BC \cap l_{A} = S$ y $ AC \cap l_{B} = D$ . Además, sea $ AB \cap DS = E$ , y sea $ CE \cap l_{A} = T$ . Denotemos por $ P$ el pie de la perpendicular desde $ E$ sobre $ l_{A}$ . Denotemos por $ Q$ el punto de intersección de la línea $ CP$ con el círculo $ O$ (distinto de $ C$ ) . Denotemos por $ R$ el punto de intersección de la línea $ QT$ con el círculo $ O$ (distinto de $ Q$ ) . Finalmente, definimos $ U = BR \cap l_{A}$ . Demostrar que \[ \frac {SU \cdot SP}{TU \cdot TP} = \frac {SA^{2}}{TA^{2}}. \]

En un trapecio $ABCD$ con $AD \parallel BC , O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ denotan los círculos con diámetros $AB, BC, CD, DA$ , respectivamente. Demostrar que existe un círculo con centro dentro del trapecio que es tangente a los cuatro círculos $O_{1},..., O_{4}$ si y sólo si $ABCD$ es un paralelogramo.

Sea $(a_{n})_{n=1}^{\infty}$ una secuencia de números reales positivos y sea $\alpha_{n}$ la media aritmética de $a_{1},..., a_{n}$ . Demostrar que para todos los enteros positivos $N$ , \[\sum_{n=1}^{N}\alpha_{n}^{2}\leq 4\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}. \]