Sea $V=[(x,y,z)|0\le x,y,z\le 2008]$ un conjunto de puntos en un espacio 3-D. Si la distancia entre dos puntos es $1, \sqrt{2}, 2$, coloreamos los dos puntos de manera diferente. ¿Cuántos colores se necesitan para colorear todos los puntos en $V$?

$p$ es un número primo tal que su residuo dividido por 8 es 3. Encuentra todos los pares de números racionales $(x,y)$ que satisfacen la siguiente ecuación. $$p^2 x^4-6px^2+1=y^2$$

Suponga que la secuencia $\{a_n\}$ de reales positivos satisface las siguientes condiciones: $a_i \leq a_j$ para cada entero positivo $i <j$ . Para cualquier entero positivo $k \geq 3$ , se cumple la siguiente desigualdad: $$(a_1+a_2)(a_2+a_3)\cdots(a_{k-1}+a_k)(a_k+a_1)\leq (2^k+2022)a_1a_2\cdots a_k$$ Demuestra que $\{a_n\}$ es constante.

$n(\geq 4)$ islas están conectadas por puentes para satisfacer las siguientes condiciones: Cada puente conecta solo dos islas y no atraviesa otras islas. Hay como máximo un puente que conecta dos islas diferentes cualesquiera. No existe una lista $A_1, A_2, \ldots, A_{2k}(k \geq 2)$ de islas distintas que satisfagan lo siguiente: Para cada $i=1, 2, \ldots, 2k$ , las dos islas $A_i$ y $A_{i+1}$ están conectadas por un puente. (Sea $A_{2k+1}=A_1$ ) Demuestra que el número de puentes es como máximo $\frac{3(n-1)}{2}$ .

Para un triángulo escaleno $ABC$ con un incentro $I$ , sea su incírculo que se encuentra con los lados $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ , respectivamente. Denote por $P$ la intersección de las líneas $AI$ y $DF$ , y $Q$ la intersección de las líneas $BI$ y $EF$ . Demuestra que $\overline{PQ}=\overline{CD}$ .

Para enteros positivos $m, n$ ( $m>n$ ) , $a_{n+1}, a_{n+2}, ..., a_m$ son enteros no negativos que satisfacen la siguiente desigualdad. $$ 2> \frac{a_{n+1}}{n+1} \ge \frac{a_{n+2}}{n+2} \ge \cdots \ge \frac{a_m}{m}$$ Encuentra el número de pares $(a_{n+1}, a_{n+2}, \cdots, a_m)$ .

Suponga que la secuencia $\{a_n\}$ de enteros positivos satisface las siguientes condiciones: Para un entero $i \geq 2022$ , defina $a_i$ como el entero positivo más pequeño $x$ tal que $x+\sum_{k=i-2021}^{i-1}a_k$ es un cuadrado perfecto. Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $a_n=4\times 2022-3$ . Demuestra que existe un entero positivo $N$ tal que $\sum_{k=n}^{n+2021}a_k$ es constante para cada entero $n \geq N$ . Y determine el valor de $\sum_{k=N}^{N+2021}a_k$ .

En un triángulo escaleno $ABC$ , sea la bisectriz del ángulo $A$ que se encuentra con el lado $BC$ en $D$ . Sean $E, F$ los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ADC$ , respectivamente. Suponga que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BDE$ y $DCF$ se intersecan en $P(\neq D)$ , y denote por $O, X, Y$ los circuncentros de los triángulos $ABC, BDE, DCF$ , respectivamente. Demuestra que $OP$ y $XY$ son paralelos.

Tres secuencias ${a_n},{b_n},{c_n}$ satisfacen las siguientes condiciones. $a_1=2,\,b_1=4,\,c_1=5$ $\forall n,\; a_{n+1}=b_n+\frac{1}{c_n}, \, b_{n+1}=c_n+\frac{1}{a_n}, \, c_{n+1}=a_n+\frac{1}{b_n}$ Demuestra que para todos los enteros positivos $n$ , $ $ $ $ $max(a_n,b_n,c_n)>\sqrt{2n+13}$ .

Sea $p_n$ el $n^{\mbox{th}}$ primo contando desde el primo más pequeño $2$ en orden creciente. Por ejemplo, $p_1=2, p_2=3, p_3 =5, \cdots$\n(a) Para un $n \ge 10$ dado , sea $r$ el entero más pequeño que satisface\n\[2\le r \le n-2, \quad n-r+1 < p_r\]\ny defina $N_s=(sp_1p_2\cdots p_{r-1})-1$ para $s=1,2,\ldots, p_r$ . Demuestre que existe $j, 1\le j \le p_r$ , tal que ninguno de $p_1,p_2,\cdots, p_n$ divide a $N_j$ .\n(b) Usando el resultado de (a), encuentre todos los enteros positivos $m$ para los cuales\n\[p_{m+1}^2 < p_1p_2\cdots p_m\]