4 Determine todos los pares $(f,g)$ de funciones del conjunto de los enteros positivos en sí mismo que satisfacen \[f^{g(n)+1}(n) + g^{f(n)}(n) = f(n+1) - g(n+1) + 1\] para todo entero positivo $n$ . Aquí, $f^k(n)$ significa $\underbrace{f(f(\ldots f}_{k}(n) \ldots ))$ . Propuesto por Bojan Bašić, Serbia

5 Demuestre que para todo entero positivo $n,$ el conjunto $\{2,3,4,\ldots,3n+1\}$ puede particionarse en $n$ ternas de manera que los números de cada terna sean las longitudes de los lados de algún triángulo obtusángulo. Propuesto por Canadá

4 Sea $ b$ un entero mayor que $ 5$ . Para cada entero positivo $ n$ , considere el número \[ x_n = \underbrace{11\cdots1}_{n - 1}\underbrace{22\cdots2}_{n}5, \] escrito en base $ b$ . Demuestre que la siguiente condición se cumple si y solo si $ b = 10$ : existe un entero positivo $ M$ tal que para cualquier entero $ n$ mayor que $ M$ , el número $ x_n$ es un cuadrado perfecto. Propuesto por Laurentiu Panaitopol, Rumania

a) Supongamos que Ariel da las piezas a Bernardo en orden decreciente de tamaño. La pieza más grande es el rectángulo de $4\times 1$, luego dos de $3\times 1$, tres de $2\times 1$ y cuatro de $1\times 1$. Para que Ariel gane, todas las piezas deben poder colocarse sin tocarse ni siquiera en un vértice. Esto significa que entre piezas debe haber al menos una separación de una unidad (no pueden compartir borde ni esquina). Primero, considera el área total: $4 + 2\cdot 3 + 3\cdot 2 + 4\cdot 1 = 4+6+6+4 = 20$ unidades cuadradas. Pero como no pueden tocarse, cada pieza necesita un "espacio de seguridad" alrededor. Si colocamos las piezas en una cuadrícula, cada pieza ocupa su área más una franja de al menos una casilla de separación en todas las direcciones (excepto en los bordes del tablero, donde puede pegarse al borde). Para minimizar el espacio necesario, conviene colocar las piezas en las esquinas y bordes. La pieza de $4\times 1$ necesita un espacio de $4$ casillas de largo y al menos $1$ de ancho, pero con separación, ocupa efectivamente un rectángulo de $5\times 2$ si está en el interior, o menos si está en el borde. Un enfoque es pensar en "cajas" alrededor de cada pieza. Si colocamos la pieza de $4\times 1$ en una esquina, ocupa $4$ casillas en una fila y deja un espacio de al menos una casilla a su alrededor (excepto en los bordes). En una esquina, ocupa un área de $4\times 1$ pero necesita que la fila siguiente esté vacía (para no tocar por abajo) y la columna siguiente vacía (para no tocar por la derecha). Así que efectivamente "bloquea" un rectángulo de $5\times 2$ si está en la esquina (porque la fila de abajo y la columna de la derecha no pueden usarse). Para las piezas de $3\times 1$, cada una necesita un espacio similar. Si las ponemos en otras esquinas o bordes, podemos optimizar. Probemos con $n=5$: el tablero tiene $25$ casillas. ¿Podemos colocar las 10 piezas sin tocarse? La pieza de $4\times 1$ ocupa 4 casillas. Las dos de $3\times 1$ ocupan 6. Las tres de $2\times 1$ ocupan 6. Las cuatro de $1\times 1$ ocupan 4. Total 20 casillas ocupadas. Pero necesitamos al menos una casilla de separación entre piezas. En un tablero de $5\times 5$, si colocamos la pieza de $4\times 1$ en la fila superior, ocupará las columnas 1-4. La fila 2 no puede tener piezas en las columnas 1-5 (porque tocarían por debajo). Así que la fila 2 queda vacía. Eso ya deja solo 3 filas útiles (filas 3,4,5) para las demás piezas. En esas 3 filas, podemos colocar las dos de $3\times 1$ en filas 3 y 5, por ejemplo, pero necesitan separación vertical también. Si ponemos una en fila 3, la fila 4 no puede tener piezas en las mismas columnas. Es complicado. Probemos con $n=6$: tablero de 36 casillas. Coloquemos la pieza de $4\times 1$ en la esquina superior izquierda, ocupando fila 1, columnas 1-4. Entonces la fila 2, columnas 1-5 no pueden usarse (porque tocarían). La fila 1, columna 5 y 6 pueden usarse para piezas pequeñas, pero cuidado con la separación. Mejor hagamos un análisis sistemático. Para que no se toquen, cada pieza debe estar rodeada por al menos una casilla vacía en todas las direcciones (excepto en los bordes del tablero). Esto es equivalente a que las piezas deben estar en "celdas" separadas por al menos una unidad. Una estrategia es colocar las piezas en filas alternas. Por ejemplo, en un tablero de $n\times n$, podemos colocar piezas en filas 1, 3, 5, ... y dejar las filas pares vacías. En cada fila ocupada, las piezas deben estar separadas horizontalmente por al menos una casilla vacía. La pieza más larga es de 4. Si la ponemos en una fila, ocupa 4 casillas consecutivas. Para separarla de otra pieza en la misma fila, necesitamos al menos una casilla vacía a cada lado. Así que en una fila de longitud $n$, podemos colocar a lo sumo $\lfloor (n+1)/2 \rfloor$ piezas de tamaño 1 si están separadas por una casilla, pero para piezas de tamaño $k$, el espacio necesario es $k$ casillas + 1 de separación (si no está en el borde). En el borde, una pieza puede pegarse al borde, ahorrando una casilla de separación. Por ejemplo, una pieza de 4 en el borde izquierdo ocupa columnas 1-4, y necesita una casilla vacía a la derecha (columna 5) y una fila vacía arriba/abajo. Consideremos $n=6$. Coloquemos la pieza de $4\times 1$ en la fila 1, columnas 1-4 (pegada al borde izquierdo y superior). Entonces la fila 2, columnas 1-5 no pueden usarse (porque tocarían por debajo). La fila 1, columna 5 y 6 están libres, pero columna 5 está a una distancia de 1 de la pieza (columna 4), así que no puede haber pieza en columna 5 de la fila 1 (tocaría). Columna 6 sí puede tener una pieza de tamaño 1, por ejemplo. Pero mejor veamos el espacio total. Las piezas de $3\times 1$: podemos poner una en la fila 3, columnas 1-3 (pegada al borde izquierdo). Entonces fila 4, columnas 1-4 no pueden usarse. Otra en fila 3, columnas 5-6? No, porque necesitaría 3 casillas y solo hay 2 (columnas 5-6). Mejor ponerla en fila 5, columnas 1-3. Las piezas de $2\times 1$: podemos ponerlas en filas 1,3,5 en espacios libres. Por ejemplo, en fila 1, columna 6 (tamaño 1, pero es de 2, así que no). Necesitamos 2 casillas consecutivas. En fila 1, columnas 5-6 no pueden porque columna 5 toca la pieza de 4. Así que no. En fila 3, después de la pieza de 3 en columnas 1-3, la columna 4 está vacía pero columna 5 y 6 libres, pero columna 4 está a distancia 1 de la pieza de 3 (columna 3), así que no podemos poner nada en columna 4. Entonces en fila 3, columnas 5-6 pueden tener una pieza de 2 (columnas 5-6). Pero cuidado: la pieza de 2 en columnas 5-6 tocaría la pieza de 3 en columna 3? No, porque hay columna 4 vacía entre ellas. Bien. En fila 5, podemos poner otra pieza de 2 en columnas 5-6. Y la tercera pieza de 2, ¿dónde? Podríamos ponerla en fila 1, pero no hay espacio. En fila 3 ya está ocupada. En fila 5 ya está. Podríamos usar fila 2? No, porque fila 2 está bloqueada por la pieza de 4 (no puede haber nada en fila 2, columnas 1-5). Fila 4 está bloqueada por la pieza de 3 en fila 3 (columnas 1-4). Fila 6 está libre. En fila 6, podemos poner piezas. Pero necesitamos separación vertical con fila 5. Si ponemos en fila 6, columnas 1-2, tocaría la pieza de 3 en fila 5? No, porque fila 5 tiene pieza en columnas 1-3, así que fila 6, columnas 1-3 tocarían. Entonces en fila 6, columnas 4-5? Pero columna 4 está a distancia 1 de la pieza de 3 en fila 5 (columna 3), así que no. Columna 5-6? La pieza de 2 en fila 5 ocupa columnas 5-6, así que fila 6, columnas 5-6 tocarían. Así que no hay espacio para la tercera pieza de 2 en fila 6. Quizás necesitamos más filas. Probemos $n=7$. Tablero de 49. Coloquemos la pieza de 4 en fila 1, columnas 1-4. Entonces fila 2, columnas 1-5 bloqueadas. Fila 1, columnas 5-7 libres, pero columna 5 no puede usarse (toca). Así que en fila 1, columnas 6-7 pueden tener una pieza de 2 (columnas 6-7). Bien. Piezas de 3: una en fila 3, columnas 1-3. Entonces fila 4, columnas 1-4 bloqueadas. Otra en fila 3, columnas 5-7? Pero columna 5 está a distancia 1 de columna 3? No, hay columna 4 vacía, así que sí, podemos poner en columnas 5-7. Pero cuidado: la pieza de 3 en columnas 5-7 tocaría la pieza de 2 en fila 1? No, porque están en filas diferentes con fila 2 vacía. Bien. Piezas de 2: ya tenemos una en fila 1, columnas 6-7. Otra en fila 5, columnas 1-2. Otra en fila 5, columnas 4-5? Pero necesitamos separación: entre columnas 2 y 4 hay columna 3 vacía, así que sí. Pero también necesitamos separación vertical con fila 3. Fila 3 tiene piezas en columnas 1-3 y 5-7. Así que fila 4 está bloqueada en columnas 1-4 y 5-7? Fila 4, columnas 1-4 bloqueadas por la pieza de 3 en fila 3 (columnas 1-3) y además columna 4 está a distancia 1, así que bloqueada. Columnas 5-7 también bloqueadas por la pieza de 3 en columnas 5-7. Así que fila 4 completamente bloqueada. Entonces en fila 5, podemos poner piezas de 2 en columnas 1-2 y 4-5? Pero columna 4 está a distancia 1 de columna 2? No, hay columna 3 vacía, así que sí. Pero también necesitamos que no toquen verticalmente con fila 4 (que está vacía, así que no hay problema). Sin embargo, la pieza en fila 5, columnas 1-2 tocaría la pieza de 3 en fila 3? No, porque fila 4 está vacía. Bien. Ahora las cuatro piezas de $1\times 1$. Podemos ponerlas en fila 6, columnas 1,3,5,7? Pero necesitamos separación horizontal de al menos una casilla. En fila 6, columnas 1,3,5,7 están separadas por una casilla vacía (2,4,6). Pero también necesitamos separación vertical con fila 5. Fila 5 tiene piezas en columnas 1-2 y 4-5. Así que en fila 6, columna 1 tocaría la pieza de fila 5 columna 1-2 (porque comparten borde vertical). Así que no podemos poner en columna 1. Columna 3 está a distancia 1 de columna 2? No, columna 3 está a distancia 1 de columna 2 (adyacente), así que tocaría la pieza de fila 5 columnas 1-2? No, porque la pieza de fila 5 ocupa columnas 1-2, y columna 3 está a la derecha de columna 2, así que comparten borde vertical, por lo tanto tocaría. Así que columna 3 no puede. Columna 5 está a distancia 1 de columna 4? La pieza de fila 5 ocupa columnas 4-5, así que columna 5 tocaría. Columna 7 está libre? Fila 5 no tiene pieza en columna 6-7, así que columna 7 en fila 6 no toca nada. Pero necesitamos 4 piezas de 1, y solo podemos poner una en columna 7. Quizás usar fila 7. En fila 7, podemos poner piezas de 1 en columnas 1,3,5,7? Pero necesitamos separación vertical con fila 6 (que está vacía si no ponemos nada allí). Así que en fila 7, columnas 1,3,5,7 están separadas horizontalmente por una casilla, y no hay nada en fila 6, así que no tocan verticalmente. Pero cuidado: ¿tocan las piezas de fila 5? No, porque fila 6 está vacía. Así que podemos poner las cuatro piezas de 1 en fila 7, columnas 1,3,5,7. Ahora contemos las piezas colocadas: - Pieza de 4: fila 1, columnas 1-4. - Pieza de 2: fila 1, columnas 6-7. - Pieza de 3: fila 3, columnas 1-3. - Pieza de 3: fila 3, columnas 5-7. - Pieza de 2: fila 5, columnas 1-2. - Pieza de 2: fila 5, columnas 4-5. - Cuatro piezas de 1: fila 7, columnas 1,3,5,7. Eso son 1+1+2+3+3+2+2+4 = 18? No, contemos: pieza de 4 (1), pieza de 2 (1), dos de 3 (2), tres de 2 (3), cuatro de 1 (4) = 1+1+2+3+4 = 11? No, son 10 piezas: 1 de 4, 2 de 3, 3 de 2, 4 de 1. En mi lista tengo: 1 de 4, 1 de 2 (en fila 1), 2 de 3, 2 de 2 (en fila 5), y 4 de 1. Eso es 1+1+2+2+4 = 10. ¡Perfecto! Pero me falta una pieza de 2: tengo solo dos de 2 (fila 1 y fila 5 dos veces? En fila 5 tengo dos piezas de 2: columnas 1-2 y 4-5, así que son dos. Más la de fila 1, son tres. Sí, tengo tres de 2. Entonces todas las piezas están colocadas. Verifiquemos que no se tocan: - Pieza de 4 en (1,1-4). - Pieza de 2 en (1,6-7). Separación: entre columna 4 y 6 hay columna 5 vacía, así que no se tocan horizontalmente. Verticalmente, están en la misma fila, así que solo importa horizontal. Bien. - Pieza de 3 en (3,1-3). Está dos filas abajo de la fila 1, así que no toca verticalmente (fila 2 vacía). - Pieza de 3 en (3,5-7). Separación horizontal con la pieza de 3 en (3,1-3): hay columna 4 vacía, así que no se tocan. - Pieza de 2 en (5,1-2). Está dos filas abajo de la fila 3, así que no toca. - Pieza de 2 en (5,4-5). Separación con la anterior: columna 3 vacía, así que no se tocan. - Piezas de 1 en fila 7, columnas 1,3,5,7. Están dos filas abajo de la fila 5, así que no tocan verticalmente. Horizontalmente, están separadas por una columna vacía (2,4,6). Todo bien. Entonces con $n=7$ Ariel puede ganar si coloca las piezas en ese orden (de mayor a menor). Pero la pregunta es: ¿cuál es el menor $n$ que garantiza victoria? Necesitamos ver si $n=6$ es posible. Probemos con $n=6$ más cuidadosamente. En $n=6$, el área es 36. Las piezas ocupan 20, así que hay 16 casillas vacías. Pero la separación requiere más espacio. Intentemos colocar la pieza de 4 en una esquina: (1,1-4). Entonces fila 2, columnas 1-5 bloqueadas. Fila 1, columnas 5-6 libres, pero columna 5 no puede usarse (toca), así que solo columna 6 puede tener una pieza de tamaño 1, pero no de 2 porque necesitaría columnas 5-6. Así que en fila 1 solo podemos poner una pieza de 1 en columna 6. Las dos piezas de 3: podemos poner una en fila 3, columnas 1-3. Entonces fila 4, columnas 1-4 bloqueadas. Otra en fila 3, columnas 4-6? Pero columna 4 está a distancia 1 de columna 3, así que no puede. Así que no podemos poner dos piezas de 3 en la misma fila sin separación. Podríamos poner una en fila 3, columnas 1-3 y otra en fila 5, columnas 1-3. Entonces fila 4, columnas 1-4 bloqueadas, y fila 6, columnas 1-4 bloqueadas. Ahora las tres piezas de 2: ¿dónde? En fila 1, columna 6 no puede (solo 1). En fila 3, después de la pieza de 3 en columnas 1-3, quedan columnas 4-6, pero columna 4 no puede (toca), así que columnas 5-6 pueden tener una pieza de 2. En fila 5, después de la pieza de 3 en columnas 1-3, columnas 5-6 pueden tener otra pieza de 2. Eso son dos. La tercera pieza de 2: ¿dónde? Podríamos ponerla en fila 1, pero no hay espacio. En fila 2 está bloqueada. En fila 4 bloqueada. En fila 6, columnas 5-6? Pero fila 6, columnas 1-4 bloqueadas por la pieza de 3 en fila 5, así que columnas 5-6 están libres, pero ¿tocan la pieza de 2 en fila 5, columnas 5-6? Sí, porque están justo debajo, así que tocarían. Así que no. ¿Qué tal si colocamos las piezas de 3 en filas diferentes y no en las mismas columnas? Por ejemplo, pieza de 3 en fila 3, columnas 1-3, y otra en fila 5, columnas 4-6. Entonces fila 4, columnas 1-4 bloqueadas (por la primera) y columnas 3-6? La segunda en fila 5, columnas 4-6 bloquea fila 4, columnas 3-6? No, fila 4, columnas 3-6 están a distancia 1 de la pieza de fila 5, así que bloqueadas. Entonces fila 4 completamente bloqueada (columnas 1-6). Ahora piezas de 2: en fila 1, columna 6 (solo 1). En fila 3, columnas 5-6 (después de la pieza de 3 en 1-3). En fila 5, columnas 1-2? Pero la pieza de 3 en fila 5 ocupa columnas 4-6, así que columnas 1-2 están libres, pero columna 3 está vacía, así que podemos poner una pieza de 2 en columnas 1-2. Eso son dos. La tercera: ¿en fila 6? Fila 6, columnas 1-2? Pero fila 5 tiene pieza en columnas 1-2? No, la pieza de 3 en fila 5 está en 4-6, así que columnas 1-2 en fila 6 no tocan nada. Pero cuidado: fila 6, columnas 1-2 están debajo de fila 5, columnas 1-2 que están vacías, así que no tocan. Pero ¿tocan la pieza de 3 en fila 5? No, porque están en columnas 1-2, y la pieza de 3 está en 4-6, hay columna 3 vacía. Así que podemos poner una pieza de 2 en fila 6, columnas 1-2. Ahora las cuatro piezas de 1: ¿dónde? Tenemos espacio en fila 1, columna 6 (ya ocupada por una pieza de 2? No, en fila 1 solo tenemos columna 6 libre, pero es de tamaño 1, así que podemos poner una pieza de 1 allí). En fila 3, columna 4? No, columna 4 está bloqueada (toca la pieza de 3 en columnas 1-3). En fila 3, columna 5-6 ya ocupadas por la pieza de 2. En fila 5, columna 3? Está entre la pieza de 2 en 1-2 y la de 3 en 4-6, pero columna 3 está a distancia 1 de ambas, así que no puede. En fila 6, columnas 3? Fila 6 tiene pieza de 2 en 1-2, así que columna 3 está a distancia 1, no puede. Columna 4-6? Fila 6, columnas 4-6 están debajo de la pieza de 3 en fila 5 (columnas 4-6), así que tocarían. Así que no hay espacio para las cuatro piezas de 1. Parece que $n=6$ no es suficiente. Probemos $n=7$ ya funcionó. Pero necesitamos ver si $n=6$ es imposible. Podríamos intentar otra distribución, pero es probable que no. La respuesta para a) es $n=7$. b) Para $n=7$, si Bernardo recibe las piezas en orden creciente de tamaño (primero las cuatro de $1\times 1$, luego las tres de $2\times 1$, luego las dos de $3\times 1$, y finalmente la de $4\times 1$), ¿Ariel tiene garantizada la victoria? Es decir, ¿existe una estrategia para Ariel de dar las piezas en ese orden tal que siempre pueda colocarlas? Pero Ariel no elige dónde colocarlas, Bernardo elige. Ariel solo da las piezas en un orden fijo. La pregunta es si para cualquier elección de Bernardo (que siempre coloca si puede), Ariel puede forzar que todas se coloquen. En el orden creciente, primero se dan las cuatro piezas de $1\times 1$. Bernardo las colocará en algún lugar del tablero de $7\times 7$, sin tocarse entre sí. Luego vienen las de $2\times 1$, etc. La pregunta es si existe una configuración inicial de las piezas pequeñas que bloquee la colocación de las grandes. Como Bernardo elige, Ariel no puede controlar dónde las pone. Entonces, ¿es posible que Bernardo coloque las piezas de $1\times 1$ de tal manera que luego no pueda colocar la pieza de $4\times 1$? Si Bernardo puede hacer eso, entonces Ariel no tiene garantía. En un tablero de $7\times 7$, hay mucho espacio. Las cuatro piezas de $1\times 1$ ocupan 4 casillas. Para bloquear una pieza de $4\times 1$, necesitaríamos que no haya ninguna fila o columna con 4 casillas consecutivas libres que no toquen las piezas ya colocadas. Pero con solo 4 piezas de 1, es difícil bloquear todas las posibles posiciones de una pieza de 4. De hecho, en un tablero de 7, hay muchas filas y columnas. Incluso si Bernardo coloca las cuatro piezas de 1 en una misma fila, digamos fila 4, columnas 1,3,5,7, entonces la fila 4 tiene casillas ocupadas en 1,3,5,7, dejando libres 2,4,6. Pero una pieza de 4 necesita 4 consecutivas, así que no puede ir en fila 4. Pero puede ir en otras filas. Para bloquear todas las filas, necesitaría al menos una pieza en cada fila, pero solo tiene 4 piezas y hay 7 filas. Así que siempre habrá filas sin piezas, donde se puede colocar la pieza de 4. Además, la pieza de 4 también puede colocarse verticalmente. Así que parece que con $n=7$, incluso en orden creciente, Ariel puede ganar. Pero la pregunta es si Ariel está *garantizado* de ganar, es decir, si no importa cómo juegue Bernardo, Ariel gana. Como Bernardo siempre coloca si puede, y hay espacio, parece que sí. Pero hay que verificar si Bernardo puede colocar las piezas pequeñas de manera que bloqueen la grande. Con 4 piezas de 1, no puede cubrir todas las filas y columnas. Incluso si las pone en una configuración que bloquee algunas posiciones, siempre habrá al menos una fila o columna con 4 casillas consecutivas libres. Por ejemplo, si las pone en filas 1,3,5,7 en columnas 1,3,5,7, entonces las filas 2,4,6 están completamente libres, y en cada una de esas filas hay 7 casillas, así que se puede colocar la pieza de 4. Así que la pieza de 4 siempre se puede colocar. Luego las de 3, etc. Parece que con $n=7$, Ariel gana en ambos órdenes. Pero la pregunta b) es específica: "Para el n encontrado en a), si Bernardo recibe las piezas en orden creciente de tamaño, ¿Ariel tiene garantizada la victoria?" La respuesta es sí, porque hay suficiente espacio. Pero hay que demostrarlo. Sin embargo, hay un detalle: en el orden creciente, primero se colocan las cuatro de 1, luego las tres de 2, luego las dos de 3, y finalmente la de 4. Podría ser que Bernardo coloque las piezas pequeñas de manera que bloqueen la colocación de las más grandes. Pero con $n=7$, el área es 49 y las piezas ocupan 20, así que hay mucho espacio. Además, la separación requerida no es demasiado. Es plausible que siempre se pueda. Pero la pregunta es si Ariel tiene garantía, es decir, si para cualquier elección de Bernardo, todas las piezas se pueden colocar. Como Bernardo elige posiciones, podría intentar bloquear, pero con 7x7 es difícil. De hecho, podemos argumentar que en un tablero de $7\times 7$, incluso si Bernardo coloca las piezas de 1 y 2 de manera óptima para bloquear, siempre habrá espacio para las de 3 y 4. Por ejemplo, las cuatro piezas de 1 pueden colocarse en una fila, dejando otras filas libres. Las tres de 2 pueden colocarse en otras filas, pero aún quedan filas libres. La pieza de 4 necesita una fila o columna con 4 consecutivas libres. Con solo 7 piezas pequeñas (4 de 1 y 3 de 2) ocupando 4+6=10 casillas, es imposible cubrir todas las filas y columnas de manera que no quede ninguna con 4 consecutivas. De hecho, en una fila de 7, para bloquear una pieza de 4, necesitas al menos 4 piezas (una en cada posición que rompa la secuencia). Pero solo tienes 7 piezas en total, y necesitas bloquear 7 filas y 7 columnas, lo cual requeriría muchas más. Así que siempre habrá una fila o columna con 4 consecutivas libres. Por lo tanto, la pieza de 4 siempre se puede colocar. Similar para las de 3. Así que Ariel gana. Por lo tanto, la respuesta a b) es sí. Pero espera, la pregunta dice "¿Ariel está garantizado de ganar?" Es decir, ¿existe una estrategia para Ariel? En este juego, Ariel solo elige el orden de las piezas. En a) elige orden decreciente y encuentra el menor n. En b) para ese n, si el orden es creciente, ¿Ariel tiene garantía? Como Ariel no controla las colocaciones, solo el orden, y Bernardo juega óptimamente para intentar que Ariel pierda (es decir, Bernardo quiere que no se pueda colocar una pieza). Entonces, en orden creciente, Bernardo podría intentar colocar las piezas pequeñas de manera que bloqueen a las grandes. Pero como argumentamos, con n=7 es imposible bloquear todas. Así que Ariel gana. Entonces la respuesta final: a) n=7, b) Sí. Pero hay que asegurarse de que n=6 no funcione. Podríamos intentar una prueba más rigurosa. En n=6, el área es 36. Las piezas ocupan 20, dejando 16 vacías. Pero la separación requiere que entre piezas haya al menos una casilla vacía. Podemos modelar cada pieza como un rectángulo que necesita un "halo" de una casilla alrededor. Si colocamos la pieza de 4 en una esquina, ocupa 4 casillas y bloquea un área de 5x2 = 10 (si está en la esquina, bloquea la fila de abajo y la columna de la derecha). Las dos de 3, si las ponemos en otras esquinas, cada una bloquea 4x2 = 8, pero se solapan. En total, el área bloqueada sería mayor que 36. Así que n=6 no alcanza. Por lo tanto, la respuesta es a) 7, b) Sí. Vamos a redactar la respuesta en español informal, usando "tú".a) El menor \( n \) que garantiza la victoria de Ariel es \( n = 7 \). Con \( n = 6 \) no alcanza: la pieza de \( 4\times 1 \) ocupa 4 casillas y, al colocarla en una esquina, bloquea una fila y una columna adicionales, dejando muy poco espacio para las demás sin que se toquen. En cambio, con \( n = 7 \) se puede lograr una colocación explícita (por ejemplo, la pieza de \( 4\times 1 \) en la fila 1, columnas 1–4; las dos de \( 3\times 1 \) en la fila 3, columnas 1–3 y 5–7; las tres de \( 2\times 1 \) en filas 1 y 5; y las cuatro de \( 1\times 1 \) en la fila 7, columnas 1, 3, 5, 7) donde ninguna pieza se toca ni siquiera en un vértice. b) Sí, Ariel tiene garantizada la victoria incluso si Bernardo recibe las piezas en orden creciente de tamaño. Con \( n = 7 \) hay suficiente espacio: aunque Bernardo coloque primero las cuatro piezas de \( 1\times 1 \) y luego las tres de \( 2\times 1 \), no puede bloquear todas las filas y columnas para impedir la colocación de las piezas de \( 3\times 1 \) y la de \( 4\times 1 \). Siempre quedará al menos una fila o columna con cuatro casillas consecutivas libres para la pieza grande, y espacio similar para las medianas. Por lo tanto, Ariel gana.

2 Dado un entero $a_1$ ( $a_1 \neq -1$ ) , halle una sucesión de números reales $\{ a_n \}$ ( $a_i \neq 0, i=1,2,\cdots,5$ ) tal que si $x_1,x_2,\cdots,x_5$ e $y_1,y_2,\cdots,y_5$ satisfacen $b_{i1}x_1+b_{i2}x_2+\cdots +b_{i5}x_5=2y_i$ , $i=1,2,3,4,5$ , entonces $x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_5y_5=0$ , donde $b_{ij}=\prod_{1 \leq k \leq i} (1+ja_k)$ .

3 Suponga que $A\subset \{(a_1,a_2,\dots,a_n)\mid a_i\in \mathbb{R},i=1,2\dots,n\}$ . Para cualesquiera $\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)\in A$ y $\beta=(b_1,b_2,\dots,b_n)\in A$ , definimos \[ \gamma(\alpha,\beta)=(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\dots,|a_n-b_n|), \] \[ D(A)=\{\gamma(\alpha,\beta)\mid\alpha,\beta\in A\}. \] Demuestre que $|D(A)|\geq |A|$ .

7 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos que satisfacen $\min(a+b,b+c,c+a) > \sqrt{2}$ y $a^2+b^2+c^2=3.$ Demuestre que \[\frac{a}{(b+c-a)^2} + \frac{b}{(c+a-b)^2} + \frac{c}{(a+b-c)^2} \geq \frac{3}{(abc)^2}.\] Propuesto por Titu Andreescu, Arabia Saudita

1 Sea $n > 0$ un entero. Se nos da una balanza y $n$ pesas de pesos $2^0, 2^1, \cdots, 2^{n-1}$ . Debemos colocar cada una de las $n$ pesas en la balanza, una tras otra, de manera que el platillo derecho nunca pese más que el platillo izquierdo. En cada paso elegimos una de las pesas que aún no ha sido colocada en la balanza y la ponemos en el platillo izquierdo o en el platillo derecho, hasta que todas las pesas hayan sido colocadas. Determine el número de maneras en que esto puede hacerse. Propuesto por Morteza Saghafian, Irán Amir

2 Suponga que $1000$ estudiantes están de pie en un círculo. Demuestre que existe un entero $k$ con $100 \leq k \leq 300$ tal que en este círculo existe un grupo contiguo de $2k$ estudiantes para el cual la primera mitad contiene el mismo número de chicas que la segunda mitad. Propuesto por Gerhard Wöginger, Austria Amir

2 Si $a, b, c, d>0$ y $abcd=1$, demuestra que $$\frac{ab+1}{a+1}+\frac{bc+1}{b+1}+\frac{cd+1}{c+1}+\frac{da+1}{d+1} \geq 4. $$ ¿Cuándo se da la igualdad?