2 Halle todos los valores reales $x$ que satisfacen la siguiente ecuación: $$\frac{\sin 3x cos \left(\frac{\pi}{3}-4x \right)+ 1}{\sin \left(\frac{\pi}{3}-7x \right) - cos\left(\frac{\pi}{6}+x \right)+m}= 0$$ donde $m$ es un número real dado.

15 Muestre que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo $1 \neq s > 0$ real y $0 < a \leq 1$ racional. Amir

53 Dados $n$ puntos $A_1, A_2, \ldots, A_n,$ sin tres colineales, demuestra que el $n$-ágono $A_1 A_2 \ldots A_n$ está inscrito en una circunferencia si y solo si $A_1 A_2 \cdot A_3 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-1} A_n + A_2 A_3 \cdot A_4 A_n \cdot \ldots A_{n-1} A_n \cdot A_1 A_n + \ldots$ $+ A_{n-1} A_{n-2} \cdot A_1 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-3} A_n$ $= A_1 A_{n-1} \cdot A_2 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-2} A_n$, donde $XY$ denota la longitud del segmento $XY$.

23 Un número egipcio es un entero positivo que puede expresarse como suma de enteros positivos, no necesariamente distintos, tales que la suma de sus recíprocos es $1$ . Por ejemplo, $32 = 2 + 3 + 9 + 18$ es egipcio porque $\frac 12 +\frac 13 +\frac 19 +\frac{1}{18}=1$ . Demuestre que todos los enteros mayores que $23$ son egipcios. Amir

24 (a) Demuestre que existe exactamente una función $ f : \mathbb Q^+ \to \mathbb Q^+$ que satisface las siguientes condiciones: (i) si $0 < q < \frac 12$ , entonces $f(q)=1+f \left( \frac{q}{1-2q} \right);$ (ii) si $1 < q \leq 2$ , entonces $f(q) = 1+f(q + 1);$ (iii) $f(q)f(1/q) = 1$ para todo $q \in \mathbb Q^+.$ (b) Halle el menor número racional $q \in \mathbb Q^+$ tal que $f(q) = \frac{19}{92}.$ Amir

25 (a) Demuestre que el conjunto $\mathbb N$ de todos los enteros positivos puede particionarse en tres subconjuntos disjuntos $A, B$ y $C$ que satisfacen las siguientes condiciones: \[A^2 = A, B^2 = C, C^2 = B,\] \[AB = B, AC = C, BC = A,\] donde $HK$ denota $\{hk | h \in H, k \in K\}$ para cualesquiera dos subconjuntos $H, K$ de $\mathbb N$ , y $H^2$ denota $HH.$ (b) Demuestre que para toda partición de $\mathbb N$ de este tipo, $\min\{n \in N | n \in A \text{ and } n + 1 \in A\}$ es menor o igual que $77.$ Amir

26 Sea $\,{\mathbb{R}}\,$ el conjunto de todos los números reales. Halle todas las funciones $\,f: {\mathbb{R}}\rightarrow {\mathbb{R}}\,$ tales que \[ f\left( x^{2}+f(y)\right) =y+\left( f(x)\right) ^{2}\hspace{0.2in}\text{for all}\,x,y\in \mathbb{R}. \]

27 Sea $ABC$ un triángulo escaleno arbitrario. Defina $\sum$ como el conjunto de todos los círculos $y$ que tienen las siguientes propiedades: (i) $y$ corta a cada lado de $ABC$ en dos puntos (posiblemente coincidentes); (ii) si los puntos de intersección de $y$ con los lados del triángulo se etiquetan como $P, Q, R, S, T , U$ , apareciendo los puntos sobre los lados en los órdenes $\mathcal B(B,P,Q,C), \mathcal B(C, R, S,A), \mathcal B(A, T,U,B)$ , entonces se cumplen las siguientes relaciones de paralelismo: $TS \parallel BC; PU\parallel CA; RQ\parallel AB$ . (En los casos límite, algunas de las condiciones de paralelismo se cumplen de manera vacua; por ejemplo, si $A$ está sobre el círculo $y$ , entonces $T$ y $S$ coinciden ambos con $A$ y la relación $TS \parallel BC$ se cumple de manera vacua.) (a) ¿Bajo qué circunstancias es $\sum$ no vacío? (b) Suponiendo que Σ es no vacío, muestre cómo construir el lugar geométrico de los centros de los círculos del conjunto $\sum$ . (c) Dado que el conjunto $\sum$ tiene un solo elemento, deduzca la medida del mayor ángulo de $ABC.$ (d) Muestre cómo construir los círculos de $\sum$ que tienen, respectivamente, el mayor y el menor radio. Amir

28 Dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ son tangentes externamente entre sí en un punto $ I$ , y ambos círculos son tangentes a un tercer círculo $ \Omega$ que encierra a los dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ . La tangente común a los dos círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ en el punto $ I$ corta al círculo $ \Omega$ en un punto $ A$ . Una tangente común a los círculos $ \Omega_{1}$ y $ \Omega_{2}$ que no pasa por $ I$ corta al círculo $ \Omega$ en los puntos $ B$ y $ C$ , de modo que los puntos $ A$ e $ I$ están en el mismo lado de la recta $ BC$ . Demuestre que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ . Formulación alternativa. Dos círculos son tangentes externamente en un punto $ I$ . Los dos círculos están dentro de un círculo grande y ambos son tangentes a él. La cuerda $ BC$ del círculo grande es tangente a ambos círculos pequeños (no en $ I$ ) . La tangente común a los dos círculos pequeños en el punto $ I$ corta al círculo grande en un punto $ A$ , donde los puntos $ A$ e $ I$ están en el mismo lado de la cuerda $ BC$ . Demuestre que el punto $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ .

11.2 Los puntos $A_1,B_1,C_1$ están sobre los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo acutángulo, respectivamente. Denótese por $P, Q, R$ las intersecciones de $BB_1$ y $CC_1$, de $CC_1$ y $AA_1$, y de $AA_1$ y $BB_1$. Si el triángulo $PQR$ es semejante a $ABC$ y $\angle AB_1C_1 = \angle BC_1A_1 = \angle CA_1B_1$, demuestre que $ABC$ es equilátero.