G1 Sea $ABCD$ un paralelogramo con $AC=BC.$ Se elige un punto $P$ en la prolongación del rayo $AB$ más allá de $B.$ La circunferencia circunscrita de $ACD$ corta de nuevo al segmento $PD$ en $Q.$ La circunferencia circunscrita del triángulo $APQ$ corta al segmento $PC$ en $R.$ Demuestre que las rectas $CD,AQ,BR$ son concurrentes.

G2 Sea $\Gamma$ una circunferencia con centro $I$ , y $A B C D$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $A B, B C, C D$ y $D A$ es tangente a $\Gamma$ . Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $A I C$ . La prolongación de $B A$ más allá de $A$ corta a $\Omega$ en $X$ , y la prolongación de $B C$ más allá de $C$ corta a $\Omega$ en $Z$ . Las prolongaciones de $A D$ y $C D$ más allá de $D$ cortan a $\Omega$ en $Y$ y $T$ , respectivamente. Demuestre que \[A D+D T+T X+X A=C D+D Y+Y Z+Z C.\] Propuesto por Dominik Burek, Polonia y Tomasz Ciesla, Polonia

G3 Considere un retículo cuadrado unitario $100\times 100$ $\textbf{L}$ (por lo tanto $\textbf{L}$ tiene $10000$ puntos). Suponga que $\mathcal{F}$ es un conjunto de polígonos tal que todos los vértices de los polígonos de $\mathcal{F}$ están en $\textbf{L}$ y todo punto de $\textbf{L}$ es el vértice de exactamente un polígono de $\mathcal{F}.$ Halle la suma máxima posible de las áreas de los polígonos de $\mathcal{F}.$ Michael Ren y Ankan Bhattacharya, USA

G5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes distintas dos a dos. Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$ . Las bisectrices interiores de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$ cortan a $AC$ en $B_1$ y $D_1$ , respectivamente. Sea $O_B$ el centro de la circunferencia que pasa por $B$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $D_1$ . De manera similar, sea $O_D$ el centro de la circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $B_1$ . Suponga que $\overline{BD_1} \parallel \overline{DB_1}$ . Demuestre que $O$ pertenece a la recta $\overline{O_BO_D}$ .

G6 Halle todos los enteros $n\geq 3$ para los cuales todo $n$ - gono convexo equilátero de lado $1$ contiene un triángulo equilátero de lado $1$ . (Aquí, los polígonos contienen sus fronteras.)

G7 Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD.$ El punto $E$ del segmento $AC$ satisface $\angle ADE =\angle BCD,$ el punto $F$ del segmento $AB$ satisface $\angle FDA =\angle DBC,$ y el punto $X$ de la recta $AC$ satisface $CX = BX.$ Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD,$ respectivamente. Demuestre que las rectas $BC, EF,$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

4 Sean $a, b$ enteros, y sea $P(x) = ax^3+bx.$ Para cualquier entero positivo $n$ decimos que el par $(a,b)$ es $n$ - bueno si $n | P(m)-P(k)$ implica $n | m - k$ para todos los enteros $m, k.$ Decimos que $(a,b)$ es $very \ good$ si $(a,b)$ es $n$ - bueno para infinitos enteros positivos $n.$ (a) Halle un par $(a,b)$ que sea 51-bueno, pero no muy bueno. (b) Demuestre que todos los pares 2010-buenos son muy buenos. Propuesto por Okan Tekman, Turquía Amir

2 Sea $n \geq 2$ un entero fijo. Halle la menor constante $C$ tal que la desigualdad \[\sum_{i<j} x_{i}x_{j} \left(x^{2}_{i}+x^{2}_{j} \right) \leq C \left(\sum_{i}x_{i} \right)^4\] se cumple para cualesquiera $x_{1}, \ldots ,x_{n} \geq 0$ (la suma de la izquierda consta de $\binom{n}{2}$ sumandos). Para esta constante $C$ , caracterice los casos de igualdad.

7 Tres arcos circulares $\gamma_1, \gamma_2,$ y $\gamma_3$ conectan los puntos $A$ y $C.$ Estos arcos están en el mismo semiplano determinado por la recta $AC$ , de modo que el arco $\gamma_2$ queda entre los arcos $\gamma_1$ y $\gamma_3.$ El punto $B$ está sobre el segmento $AC.$ Sean $h_1, h_2$ y $h_3$ tres semirrectas que parten de $B,$ situadas en el mismo semiplano, estando $h_2$ entre $h_1$ y $h_3.$ Para $i, j = 1, 2, 3,$ denote por $V_{ij}$ el punto de intersección de $h_i$ y $\gamma_j$ (véase la Figura siguiente). Denote por $\widehat{V_{ij}V_{kj}}\widehat{V_{kl}V_{il}}$ el cuadrilátero curvilíneo cuyos lados son los segmentos $V_{ij}V_{il},$ $V_{kj}V_{kl}$ y los arcos $V_{ij}V_{kj}$ y $V_{il}V_{kl}.$ Decimos que este cuadrilátero es $circumscribed$ si existe una circunferencia tangente a estos dos segmentos y a estos dos arcos. Demuestre que si los cuadriláteros curvilíneos $\widehat{V_{11}V_{21}}\widehat{V_{22}V_{12}}, \widehat{V_{12}V_{22}}\widehat{V_{23}V_{13}},\widehat{V_{21}V_{31}}\widehat{V_{32}V_{22}}$ son circunscriptibles, entonces el cuadrilátero curvilíneo $\widehat{V_{22}V_{32}}\widehat{V_{33}V_{23}}$ también es circunscriptible. Propuesto por Géza Kós, Hungría [asy] pathpen=black; size(400); pair A=(0,0), B=(4,0), C=(10,0); draw(L(A,C,0.3)); MP("A",A); MP("B",B); MP("C",C); pair X=(5,-7); path G1=D(arc(X,C,A)); pair Y=(5,7), Z=(9,6); draw(Z--B--Y); struct T {pair C;real r;}; T f(pair X, pair B, pair Y, pair Z) { pair S=unit(Y-B)+unit(Z-B); real s=abs(sin(angle((Y-B)/(Z-B))/2)); real t=10, r=abs(X-A); pair Q; for(int k=0;k<30;++k) { Q=B+t*S; t-=(abs(X-Q)-r)/abs(S)-s*t; } T T=new T; T.C=Q; T.r=s*t*abs(S); return T; } void g(pair Q, real r) { real t=0; for(int k=0;k<30;++k) { X=(5,t); t+=(abs(X-Q)+r-abs(X-A)); } } pair Z1=(1.07,6); draw(B--Z1); T T=f(X,B,Y,Z1); draw(CR(T.C,T.r)); T T=f(X,B,Y,Z); draw(CR(T.C,T.r)); g(T.C,T.r); path G2=D(arc(X,C,A)); T T=f(X,B,Y,Z1); draw(CR(T.C,T.r)); T=f(X,B,Y,Z); draw(CR(T.C,T.r)); g(T.C,T.r); path G3=D(arc(X,C,A)); pen p=black+fontsize(8); MC("\gamma_1",G1,0.85,p); MC("\gamma_2",G2,0.85,NNW,p); MC("\gamma_3",G3,0.85,WNW,p); MC("h_1",B--Z1,0.95,E,p); MC("h_2",B--Y,0.95,E,p); MC("h_3",B--Z,0.95,E,p); path[] G={G1,G2,G3}; path[] H={B--Z1,B--Y,B--Z}; pair[][] al={{S+SSW,S+SSW,3*S},{SE,NE,NW},{2*SSE,2*SSE,2*E}}; for(int i=0;i<3;++i) for(int j=0;j<3;++j) MP("V_{"+string(i+1)+string(j+1)+"}",IP(H[i],G[j]),al[i][j],fontsize(8));[/asy] Amir

1 Se escribe un entero positivo en la pizarra. Cada minuto, Maxim suma al número de la pizarra uno de sus divisores positivos, escribe el resultado en la pizarra y borra el número anterior. Sin embargo, le está prohibido sumar el mismo número dos veces seguidas. Demuestre que puede proceder de tal manera que eventualmente aparezca un cuadrado perfecto en la pizarra.