Encontrar todos los valores reales de $K$ que satisfacen lo siguiente. Sea una secuencia de números reales $\{a_n\}$ que satisface lo siguiente para todos los enteros positivos $n$. (i). $0 < a_n < n^K$. (ii). $a_1 + a_2 + \cdots + a_n < \sqrt{n}$. Entonces, existe un entero positivo $N$ tal que para todos los enteros $n>N$, $$a^{2018}_1 + a^{2018}_2 + \cdots +a^{2018}_n < \frac{n}{2018}$$

Denotemos $f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 4x+4$. Demostrar que hay infinitos primos $p$ que satisfacen lo siguiente. Para todos los enteros positivos $m$, $f(m)$ no es múltiplo de $p$.

Para un entero positivo $n$, denotemos $p(n)$ como el número de tuplas de enteros no negativos $(x,y,z,w)$ tales que $x+y+2z+3w=n-1$. También, denotemos $q(n)$ como el número de tuplas de enteros no negativos $(a,b,c,d)$ tales que (i). $a+b+c+d=n$. (ii). $a \ge b$, $c \ge d$, $a \ge d$. (iii). $b < c$. Demostrar que para todo $n$, $p(n) = q(n)$.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$. $E$ es el pie de la perpendicular desde $I$ a $AC$. La línea que pasa por $A$ y es perpendicular a $BI$ intersecta la línea $CI$ en $K$. La línea que pasa por $A$ y es perpendicular a $CI$ intersecta la línea que pasa por $C$ y es perpendicular a $BI$ en $L$. Demostrar que $E, K, L$ son colineales.

Una sala tiene $2017$ cajas en un círculo. Un conjunto de cajas es amigable si hay al menos dos cajas en el conjunto, y para cada caja en el conjunto, si vamos en el sentido de las agujas del reloj comenzando desde la caja, pasaríamos ya sea $0$ o un número impar de cajas antes de encontrar una nueva caja en el conjunto. $30$ estudiantes entran a la sala y eligen un conjunto de cajas de modo que el conjunto sea amigable, y cada estudiante pone una letra dentro de todas las cajas que él/ella eligió. Si el conjunto de las cajas que tienen $30$ letras adentro no es amigable, demuestra que existen dos estudiantes $A, B$ y cajas $a, b$ que satisfacen la siguiente condición.\n(i). $A$ eligió $a$ pero no $b$ , y $B$ eligió $b$ pero no $a$ .\n(ii). Comenzando desde $a$ y yendo en el sentido de las agujas del reloj hasta $b$ , el número de cajas por las que pasamos, sin incluir $a$ y $b$ , no es un número impar, y ninguno de $A$ o $B$ eligió tales cajas por las que pasamos.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $L$ como el punto medio de $AB$ y $M$ como el punto medio de $CD$. Sea $AC \cap BD = E$ , y sean los rayos $AB$ y $DC$ que se intersecan de nuevo en $F$. Sea $LM \cap DE = P$. Sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $P$ hasta $EM$. Si el ortocentro de $\triangle FLM$ es $E$ , demuestra la siguiente igualdad.\n$$\frac{EP^2}{EQ} = \frac{1}{2} \left( \frac{BD^2}{DF} - \frac{BC^2}{CF} \right)$$

Para un entero positivo $n \ge 2$ , define una secuencia $a_1, a_2, \cdots ,a_n$ como lo siguiente.\n$$ a_1 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$\n$$a_k = \frac{(n+k-1)(n-k+1)}{2(k-1)(2k+1)}a_{k-1}, \text{ } (k=2,3, \cdots n)$$\n(a) Demuestra que $a_1, a_2, \cdots a_n$ son todos enteros.\n(b) Demuestra que hay exactamente un número de entre $a_1, a_2, \cdots a_n$ que no es múltiplo de $2n-1$ y exactamente un número de entre $a_1, a_2, \cdots a_n$ que no es múltiplo de $2n+1$ si y sólo si $2n-1$ y $2n+1$ son todos primos.

Para un entero positivo $n$, denotamos $c_n=2017^n$. Una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ satisface las siguientes dos condiciones.\n1. Para todos los enteros positivos $m, n$ , $f(m+n) \le 2017 \cdot f(m) \cdot f(n+325)$ .\n2. Para todo entero positivo $n$ , tenemos $0<f(c_{n+1})<f(c_n)^{2017}$ .\nDemuestra que existe una secuencia $a_1, a_2, \cdots $ que satisface lo siguiente. Para todo $n, k$ que satisface $a_k<n$ , tenemos $f(n)^{c_k} < f(c_k)^n$.

Para un entero positivo $n$, $(a_0, a_1, \cdots , a_n)$ es una $n+1$ - tupla con entradas enteras. Para todo $k=0, 1, \cdots , n$, denotamos $b_k$ como el número de $k$ s en $(a_0, a_1, \cdots ,a_n)$. Para todo $k = 0,1, \cdots , n$, denotamos $c_k$ como el número de $k$ s en $(b_0, b_1, \cdots ,b_n)$. Encuentra todos los $(a_0, a_1, \cdots ,a_n)$ que satisfacen $a_0 = c_0$ , $a_1=c_1$ , $\cdots$ , $a_n=c_n$.

Un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ tiene circuncentro $O$. La circunferencia circunscrita de $OAB$, llamada $O_1$, y la circunferencia circunscrita de $OAC$, llamada $O_2$, se intersecan con $BC$ de nuevo en $D ( \not=B )$ y $E ( \not= C )$ respectivamente. La bisectriz perpendicular de $BC$ interseca a $AC$ de nuevo en $F$. Demuestra que el circuncentro de $\triangle ADE$ se encuentra en $AC$ si y sólo si los centros de $O_1, O_2$ y $F$ son colineales.