Sean $a_1, a_2, ..., a_{1999}$ números reales no negativos que satisfacen las siguientes condiciones: \na. $a_1+a_2+...+a_{1999}=2$ \nb. $a_1a_2+a_2a_3+...+a_{1999}a_1=1$ . \nSea $S=a_1^ 2+a_2 ^ 2+...+a_{1999}^2$ . Encuentra los valores máximo y mínimo de $S$ .

Una permutación $a_1,a_2,\cdots ,a_6$ de los números $1,2,\cdots ,6$ se puede transformar en $1,2,\cdots,6$ transponiendo dos números exactamente cuatro veces. Encuentra el número de tales permutaciones.

Si la ecuación: $f(\frac{x-3}{x+1}) + f(\frac{3+x}{1-x}) = x$ se cumple para todo x real excepto $\pm 1$ , encuentra $f(x)$ .

Encuentra todos los enteros n tales que $2^n - 1$ es múltiplo de 3 y $(2^n - 1)/3$ es un divisor de $4m^2 + 1$ para algún entero m.

Suponga que $f(x)$ es una función que satisface $\left | f(m+n)-f(m) \right | \leq \frac{n}{m}$ para todos los enteros positivos $m$ , $n$ . Demuestre que para todos los enteros positivos $k$ : $\sum_{i=1}^{k}\left |f(2^k)-f(2^i) \right |\leq \frac{k(k-1)}{2}$

Se nos dan dos triángulos. Pruebe que si $\angle{C}=\angle{C'}$ y $\frac{R}{r}=\frac{R'}{r'}$ , entonces son similares.

Sean $a, c$ enteros positivos. El entero positivo $b$ es un divisor de $ac-1$. Para un número racional positivo $r$ que es menor que $1$, define el conjunto $A(r)$ como sigue. $$A(r) = \{m(r-ac)+nab| m, n \in \mathbb{Z} \}$$ Encontrar todos los números racionales $r$ que hacen que el número racional positivo mínimo en $A(r)$ sea mayor o igual a $\frac{ab}{a+b}$.

Sea una figura con $9$ discos y $11$ aristas, como se muestra a continuación. Escribiremos un número real en cada disco. Entonces, para cada arista, escribiremos el cuadrado de la diferencia entre los dos números reales escritos en los dos discos que la arista conecta. Debemos escribir $0$ en el disco $A$, y $1$ en el disco $I$. Encontrar la suma mínima de todos los números reales escritos en $11$ aristas.

Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Para cada conjunto $S$ con $n$ enteros positivos distintos, demostrar que existe una biyección $f: \{1,2, \cdots n\} \rightarrow S$ que satisface la siguiente condición. Para todo $1 \le i < j < k \le n$, $f(j)^2 \neq f(i) \cdot f(k)$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. La bisectriz del ángulo $\angle A$ intersecta la bisectriz del ángulo $\angle B$, la bisectriz del ángulo $\angle D$ en $P, Q$ respectivamente. La bisectriz del ángulo $\angle C$ intersecta la bisectriz del ángulo $\angle D$, la bisectriz del ángulo $\angle B$ en $R, S$ respectivamente. $P, Q, R, S$ son todos puntos distintos. $PR$ y $QS$ se intersectan perpendicularmente en el punto $Z$. Denotemos $l_A, l_B, l_C, l_D$ como las bisectrices del ángulo exterior de $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Denotemos $E = l_A \cap l_B$, $F= l_B \cap l_C$, $G = l_C \cap l_D$, y $H= l_D \cap l_A$. Sean $K, L, M, N$ los puntos medios de $FG, GH, HE, EF$ respectivamente. Demostrar que el área del cuadrilátero $KLMN$ es igual a $ZM \cdot ZK + ZL \cdot ZN$.