Para un número primo $p$, sea $f_p(x)=x^{p-1} +x^{p-2} + \cdots + x + 1$. (1) Cuando $p$ divide a $m$, demostrar que existe un número primo que es coprimo con $m(m-1)$ y divide a $f_p(m)$. (2) Demostrar que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $pn+1$ es un número primo.

Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene circunradio $R$, inradio $r$. $A$ es el ángulo más grande entre $A,B,C$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, y $X$ la intersección de dos líneas que tocan la circunferencia circunscrita de $ABC$ y pasan por $B,C$ respectivamente. Demostrar la siguiente desigualdad: $ \frac{r}{R} \geq \frac{AM}{AX}$ .

En un círculo hay $n$ puntos tales que cada punto tiene un número distinto. Determinar el número de maneras de elegir $k$ puntos tales que para cualquier punto haya al menos 3 puntos entre este punto y el punto más cercano. (en el sentido de las agujas del reloj) ($n,k\geq 2$)

2004 computadoras conforman una red usando varios cables. Si para un subconjunto $S$ en el conjunto de todas las computadoras, no hay un cable que conecte dos computadoras en $S$, $S$ se llama independiente. Se permite que el conjunto independiente arbitrario consista en a lo sumo 50 computadoras, y se usa el menor número de cables. (1) Sea $c(L)$ el número de cables que conecta la computadora $L$. Demostrar que para dos computadoras $A,B$, $c(A)=c(B)$ si hay un cable que conecta $A$ y $B$, $|c(A)-c(B)|\leq 1$ en caso contrario. (2) Determinar el número de cables usados.

Demostrar que la ecuación $3y^2 = x^4 + x$ no tiene soluciones enteras positivas.

Un triángulo isósceles con $AB=AC$ tiene un círculo inscrito $O$, que toca sus lados $BC,CA,AB$ en $K,L,M$ respectivamente. Las líneas $OL$ y $KM$ se intersecan en $N$; las líneas $BN$ y $CA$ se intersecan en $Q$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre $BQ$. Suponga que $BP=AP+2\cdot PQ$. Entonces, ¿qué valores puede asumir la razón $\frac{AB}{BC}$?

Una línea a través del punto $P$ fuera del círculo $O$ se encuentra con dicho círculo en $B,C$ ( $PB < PC$ ) . Sea $PO$ encontrar el círculo $O$ en $Q,D$ (con $PQ < PD$ ) . Sea la línea que pasa por $Q$ y es perpendicular a $BC$ que se encuentra con el círculo $O$ en $A$ . Si $BD^2 = AD\cdot CP$ , demuestre que $PA$ es tangente a $O$ .

Para una matriz $A$ de $n\times n$ con valores complejos, demuestre que las siguientes dos condiciones son equivalentes. (i) Existe una matriz $B$ de $n\times n$ con valores complejos tal que $AB-BA=A$ . (ii) Existe un entero positivo $k$ tal que $A^k = O$ . ( $O$ es la matriz cero.)

$M$ es un real positivo y $f:[0,\infty)\to[0,M]$ es una función continua tal que $$\int_0^\infty (1+x)f(x) dx<\infty$$ Entonces, pruebe la siguiente desigualdad. $$\left(\int_0^\infty f(x) dx \right)^2 \leq 4M \int_0^\infty x f(x) dx$$

$A$ y $B$ son matrices de $2\times 2$ con valores reales que satisfacen $$\det A = \det B = 1,\quad \text{tr}(A)>2,\quad \text{tr}(B)>2,\quad \text{tr}(ABA^{-1}B^{-1}) = 2$$ Pruebe que $A$ y $B$ tienen un eigenvector común.