Sea $ ABC $ un triángulo isósceles con $ AC=BC$ . Sea $ D $ un punto en una línea $ BA $ tal que $ A $ se encuentra entre $ B, D $ . Sea $O_1 $ la circunferencia circunscrita del triángulo $ DAC $ . $ O_1 $ interseca a $ BC $ en el punto $ E $ . Sea $ F $ el punto en $ BC $ tal que $ FD $ es tangente al círculo $O_1 $ , y sea $O_2 $ la circunferencia circunscrita de $ DBF$ . Dos círculos $O_1 , O_2 $ se intersecan en el punto $ G ( \ne D) $ . Sea $ O $ el circuncentro del triángulo $ BEG$ . Demuestre que la línea $FG$ es tangente al círculo $O$ si y solo si $ DG \bot FO$ .

Hay $n$ estudiantes sentados en una mesa redonda. Recoge todas las $ n $ etiquetas de nombre y las devuelve arbitrariamente. Cada estudiante recibe una de las $n$ etiquetas de nombre. Ahora $n$ estudiantes repiten la siguiente operación: Los estudiantes que tienen sus propias etiquetas de nombre salen de la mesa. Los otros estudiantes dan sus etiquetas de nombre al estudiante que está sentado a su derecha. Encuentre el número de formas de dar etiquetas de nombre tales que exista un estudiante que no salga de la mesa después de 4 operaciones.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $ AC = BC > AB$ . Sean $ E, F $ los puntos medios de los segmentos $ AC, AB$ , y sea $l$ la bisectriz perpendicular de $AC$ . Sea $ l $ interseca a $ AB$ en $K$ , la recta que pasa por $B$ paralela a $KC$ interseca a $AC$ en el punto $L$ , y la recta $FL$ interseca a $ l$ en $W$ . Sea $ P $ un punto en el segmento $BF$ . Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ACP$ y las rectas $BH$ y $CP$ se intersecan en el punto $J$ . La recta $FJ$ interseca a $l$ en $M$ . Demuestre que $ AW = PW $ si y solo si $B$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $EFM$ .

Suponga que $x$ , $y$ , $z$ son números positivos tales que $x+y+z=1$ . Demuestre que \[ \n\frac{(1+xy+yz+zx)(1+3x^3 + 3y^3 + 3z^3)}{9(x+y)(y+z)(z+x)} \n\ge \n\left( \frac{x \sqrt{1+x} }{\sqrt[4]{3+9x^2}} + \frac{y \sqrt{1+y} }{\sqrt[4]{3+9y^2}} + \frac{z \sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}} \n\right)^2. \]

Para un entero positivo $n$ , sea $f(n)$ el número de factores de $n^2+n+1$ . Demuestre que hay infinitos enteros $n$ que satisfacen $f(n) \geq f(n+1)$ .

Los números reales $x_1, x_2, x_3, \cdots , x_n$ satisfacen $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \cdots + x_n^2 = 1$ . Demuestre que \[ \frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+\cdots+\frac{x_n}{1+ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \cdots + x_n^2} < \sqrt{\frac n2} . \]

Sea $P$ un punto que se encuentra fuera del círculo $O$ . Una línea pasa por $P$ y se encuentra con el círculo en $A$ y $B$ , y otra línea pasa por $P$ y se encuentra con el círculo en $C$ y $D$ . El punto $A$ está entre $P$ y $B$ , $C$ está entre $P$ y $D$ . Sea la intersección del segmento $AD$ y $BC$ sea $L$ y construya $E$ en el rayo $(PA$ de modo que $BL \cdot PE = DL \cdot PD$ . Demuestre que $M$ es el punto medio del segmento $DE$ , donde $M$ es la intersección de las líneas $PL$ y $DE$ .

Encuentre todas las $f: \mathbb R \to\mathbb R$ tales que para todos los números reales $x$ , $f(x) \geq 0$ y para todos los números reales $x$ e $y$ , \[ f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-2y^2=0. \]

Para un entero positivo $K$ , defina una secuencia, ${a_n}_n$ , como sigue $a_1=K$ , \[ a_{n+1} = \{ \begin{array} {cc} a_n-1 , & \mbox{ si } a_n \mbox{ es par} \\ \frac{a_n-1}2 , & \mbox{ si } a_n \mbox{ es impar} \end{array}, \] para todo $n\geq 1$ . Encuentre el valor más pequeño de $K$ , que hace que $a_{2005}$ sea el primer término igual a 0.

Para dos enteros positivos $a$ y $b$, que son relativamente primos, encuentre todos los enteros que pueden ser el máximo común divisor de $a+b$ y $\frac{a^{2005}+b^{2005}}{a+b}$.