Para enteros positivos $a,b,c,d$ hay $a+b+c+d$ puntos en el plano de los cuales ninguno de los tres son colineales. Demuestra que existen dos líneas $l_1, l_2$ tales que (1) $l_1, l_2$ no son paralelas. (2) $l_1, l_2$ no pasan por ninguno de los $a+b+c+d$ puntos. (3) Hay $a, b, c, d$ puntos en cada región separada por las dos líneas $l_1, l_2$.

Para un entero positivo $k$, define las sucesiones de enteros $\{ b_n \}, \{ c_n \}$ como sigue: \[ b_1 = c_1 = 1 \] \[ b_{2n} = kb_{2n-1} + (k-1)c_{2n-1}, c_{2n} = b_{2n-1} + c_{2n-1} \] \[ b_{2n+1} = b_{2n} + (k-1)c_{2n}, c_{2n+1} = b_{2n} + kc_{2n} \] Sea $a_k = b_{2014}$. Encuentra el valor de \[ \sum_{k=1}^{100} { (a_k - \sqrt{{a_k}^2-1} )^{ \frac{1}{2014}} }\]

Sea $ O $ el circuncentro del triángulo $ABC$. Para un punto $P$ en el segmento $BC$, el círculo que pasa por $P, B$ y es tangente a la línea $AB$ y el círculo que pasa por $P, C$ y es tangente a la línea $AC$ se intersecan en el punto $Q (\ne P)$. Sean $ D, E $ los pies de las perpendiculares desde $Q$ a $AB, AC$. ($D \ne B, E \ne C$) Las líneas $DE$ y $BC$ se intersecan en el punto $R$. Demuestra que $ O, P, Q $ son colineales si y solo si $ A, R, Q $ son colineales.

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen \[ f(mn) = \operatorname{mcm} (m,n) \cdot \gcd( f(m), f(n) ) \] para todos los enteros positivos $m,n$.

$\{a_n\}$ es una sucesión de enteros positivos tal que $ a_{i+2} = a_{i+1} + a_{i} (i \ge 1) $. Para un entero positivo $n$, define $\{b_n\}$ como \[ b_n = \frac{1}{a_{2n+1}} \sum_{i=1}^{4n-2} { a_i } \] Demuestra que $b_n$ es un entero positivo, y encuentra la forma general de $b_n$.

Demuestra que existe un polinomio mónico $f(x)$ de grado 6 y con coeficientes enteros tal que (1) Para todo entero $m$, $f(m) \ne 0$. (2) Para todo entero impar positivo $n$, existe un entero positivo $k$ tal que $f(k)$ es divisible por $n$.

Sean $ a, b, c>0 $ tales que $ ab+bc+ca=3 $. Demuestra que \[ \sum_{cyc} { \frac{ (a+b)^{3} }{ {(2(a+b)(a^2 + b^2))}^{\frac{1}{3}}} \ge 12 }\]

Sea $P$ un punto en el segmento $BC$. $Q, R$ son puntos en $AC, AB$ tales que $PQ \parallel AB$ y $PR \parallel AC$. $O, O_{1}, O_{2}$ son los circuncentros de los triángulos $ABC, BPR, PCQ$. Las circunferencias circunscritas de $BPR, PCQ$ se intersecan en el punto $K (\ne P)$. Demuestra que $OO_{1} = KO_{2}$.

En una isla hay $n$ castillos, y cada castillo está en el país $A$ o $B$ . Hay un comandante por castillo, y cada comandante pertenece al mismo país que el castillo en el que se encuentra inicialmente. Hay algunos caminos (de dos vías) entre los castillos (puede haber caminos entre castillos de diferentes países), y llame a dos castillos adyacentes si hay un camino entre ellos. Demuestre que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes: (1) Si algunos comandantes del país $B$ se mueven para atacar un castillo adyacente en el país $A$ , algunos comandantes del país $A$ podrían moverse apropiadamente en defensa a castillos adyacentes en el país $A$ para que en cada castillo del país $A$ , el número de comandantes del país $A$ que defienden ese castillo no sea menor que el número de comandantes del país $B$ que atacan ese castillo. (Cada comandante puede defender o atacar solo un castillo a la vez). (2) Para cualquier conjunto arbitrario $X$ de castillos en el país $A$ , el número de castillos del país $A$ que están en $X$ o son adyacentes a al menos uno de los castillos en $X$ no es menor que el número de castillos del país $B$ que son adyacentes a al menos uno de los castillos en $X$ .

Sea $p>5$ un primo. Suponga que existe un entero $k$ tal que $ k^2 + 5 $ es divisible por $p$ . Demuestre que existen dos enteros positivos $m,n$ que satisfacen $ p^2 = m^2 + 5n^2 $ .