7 Tres arcos circulares $\gamma_1, \gamma_2,$ y $\gamma_3$ conectan los puntos $A$ y $C.$ Estos arcos están en el mismo semiplano determinado por la recta $AC$ , de modo que el arco $\gamma_2$ queda entre los arcos $\gamma_1$ y $\gamma_3.$ El punto $B$ está sobre el segmento $AC.$ Sean $h_1, h_2$ y $h_3$ tres semirrectas que parten de $B,$ situadas en el mismo semiplano, estando $h_2$ entre $h_1$ y $h_3.$ Para $i, j = 1, 2, 3,$ denote por $V_{ij}$ el punto de intersección de $h_i$ y $\gamma_j$ (véase la Figura siguiente). Denote por $\widehat{V_{ij}V_{kj}}\widehat{V_{kl}V_{il}}$ el cuadrilátero curvilíneo cuyos lados son los segmentos $V_{ij}V_{il},$ $V_{kj}V_{kl}$ y los arcos $V_{ij}V_{kj}$ y $V_{il}V_{kl}.$ Decimos que este cuadrilátero es $circumscribed$ si existe una circunferencia tangente a estos dos segmentos y a estos dos arcos. Demuestre que si los cuadriláteros curvilíneos $\widehat{V_{11}V_{21}}\widehat{V_{22}V_{12}}, \widehat{V_{12}V_{22}}\widehat{V_{23}V_{13}},\widehat{V_{21}V_{31}}\widehat{V_{32}V_{22}}$ son circunscriptibles, entonces el cuadrilátero curvilíneo $\widehat{V_{22}V_{32}}\widehat{V_{33}V_{23}}$ también es circunscriptible. Propuesto por Géza Kós, Hungría [asy] pathpen=black; size(400); pair A=(0,0), B=(4,0), C=(10,0); draw(L(A,C,0.3)); MP("A",A); MP("B",B); MP("C",C); pair X=(5,-7); path G1=D(arc(X,C,A)); pair Y=(5,7), Z=(9,6); draw(Z--B--Y); struct T {pair C;real r;}; T f(pair X, pair B, pair Y, pair Z) { pair S=unit(Y-B)+unit(Z-B); real s=abs(sin(angle((Y-B)/(Z-B))/2)); real t=10, r=abs(X-A); pair Q; for(int k=0;k<30;++k) { Q=B+t*S; t-=(abs(X-Q)-r)/abs(S)-s*t; } T T=new T; T.C=Q; T.r=s*t*abs(S); return T; } void g(pair Q, real r) { real t=0; for(int k=0;k<30;++k) { X=(5,t); t+=(abs(X-Q)+r-abs(X-A)); } } pair Z1=(1.07,6); draw(B--Z1); T T=f(X,B,Y,Z1); draw(CR(T.C,T.r)); T T=f(X,B,Y,Z); draw(CR(T.C,T.r)); g(T.C,T.r); path G2=D(arc(X,C,A)); T T=f(X,B,Y,Z1); draw(CR(T.C,T.r)); T=f(X,B,Y,Z); draw(CR(T.C,T.r)); g(T.C,T.r); path G3=D(arc(X,C,A)); pen p=black+fontsize(8); MC("\gamma_1",G1,0.85,p); MC("\gamma_2",G2,0.85,NNW,p); MC("\gamma_3",G3,0.85,WNW,p); MC("h_1",B--Z1,0.95,E,p); MC("h_2",B--Y,0.95,E,p); MC("h_3",B--Z,0.95,E,p); path[] G={G1,G2,G3}; path[] H={B--Z1,B--Y,B--Z}; pair[][] al={{S+SSW,S+SSW,3*S},{SE,NE,NW},{2*SSE,2*SSE,2*E}}; for(int i=0;i<3;++i) for(int j=0;j<3;++j) MP("V_{"+string(i+1)+string(j+1)+"}",IP(H[i],G[j]),al[i][j],fontsize(8));[/asy] Amir