Suponga que $X$ es un conjunto con $n$ elementos y $\mathcal F\subseteq X^{(k)}$ y $X_1,X_2,...,X_s$ es una partición de $X$ . Sabemos que para cada $A,B\in \mathcal F$ y cada $1\le j\le s$ , $E=B\cap (\bigcup_{i=1}^{j}X_i)\neq A\cap (\bigcup_{i=1}^{j} X_i)=F$ muestra que ninguno de $E,F$ contiene al otro. Demuestre que \[|\mathcal F|\le \max_{\sum\limits_{i=1}^{S}w_i=k}\prod_{j=1}^{s}\binom{|X_j|}{w_j}\]

Suponga que $\mathcal F\subseteq p(X)$ y $|X|=n$ . Demuestre que si $|\mathcal F|>\sum_{i=0}^{k-1}\dbinom{n}{i}$ entonces existe $Y\subseteq X$ con $|Y|=k$ tal que $p(Y)=\mathcal F\cap Y$ tal que $\mathcal F\cap Y=\{F\cap Y:F\in \mathcal F\}$

Suponga que $\mathcal F\subseteq X^{(K)}$ y $|X|=n$ . Sabemos que para cada tres elementos distintos de $\mathcal F$ como $A,B$ y $C$ tenemos $A\cap B \not\subset C$ . a) Demuestre que : \[|\mathcal F|\le \dbinom{k}{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor}+1\] b) Si los elementos de $\mathcal F$ no tienen necesariamente $k$ elementos, con las condiciones anteriores muestre que: \[|\mathcal F|\le \dbinom{n}{\lceil\frac{n-2}{3}\rceil}+2\]

Suponga que $\mathcal F\subseteq p(X)$ y $|X|=n$ . Sabemos que para cada $A_i,A_j\in \mathcal F$ tal que $A_i\supseteq A_j$ tenemos $3\le |A_i|-|A_j|$ . Demuestre que: $|\mathcal F|\le \lfloor\frac{2^n}{3}+\frac{1}{2}\dbinom{n}{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\rfloor$

Suponga que $\mathcal F\subseteq \bigcup_{j=k+1}^{n}X^{(j)}$ y $|X|=n$ . Sabemos que $\mathcal F$ es una familia de Sperner y también es $H_k$ . Demuestre que: $\sum_{B\in \mathcal F}\frac{1}{\dbinom{n-1}{|B|-1}}\le 1$

Suponga que $\mathcal F\subseteq X^{(k)}$ y $|X|=n$ . Sabemos que para cada tres elementos distintos de $\mathcal F$ como $A,B,C$ , a lo sumo uno de $A\cap B$ , $B\cap C$ y $C\cap A$ es $\phi$ . Para $k\le \frac{n}{2}$ demuestre que: a) $|\mathcal F|\le max(1,4-\frac{n}{k})\times \dbinom{n-1}{k-1}$ . b) Encuentre todos los casos de igualdad en a) para $k\le \frac{n}{3}$ .

En un triángulo $ABC$ , $\angle C=45$ . $AD$ es la altura del triángulo. $X$ está en $AD$ tal que $\angle XBC=90-\angle B$ ( $X$ está en el triángulo). $AD$ y $CX$ cortan la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $M$ y $N$ respectivamente. Si la tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $M$ corta $AN$ en $P$ , demuestre que $P$ , $B$ y $O$ son colineales.

En un triángulo $ABC$ , $I$ es el incentro. $D$ es la reflexión de $A$ a $I$ . El incírculo es tangente a $BC$ en el punto $E$ . $DE$ corta $IG$ en $P$ ( $G$ es el centroide). $M$ es el punto medio de $BC$ . Demuestre que a) $AP||DM$ . b) $AP=2DM$ .

En un triángulo $ABC$ , $I$ es el incentro. $BI$ y $CI$ cortan la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $E$ y $F$ respectivamente. $M$ es el punto medio de $EF$ . $C$ es un círculo con diámetro $EF$ . $IM$ corta $C$ en dos puntos $L$ y $K$ y el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ (que no contiene a $A$ ) en $D$ . Demuestre que $\frac{DL}{IL}=\frac{DK}{IK}$ .

En un cuadrilátero $ABCD$ las diagonales son perpendiculares entre sí. Sea $S$ la intersección de las diagonales. $K$ , $L$ , $M$ y $N$ son reflexiones de $S$ a $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ . $BN$ corta la circunferencia circunscrita de $SKN$ en $E$ y $BM$ corta la circunferencia circunscrita de $SLM$ en $F$ . Demuestre que $EFLK$ es concíclico.