Demuestre el tercer teorema de Sylow: suponga que $G$ es un grupo y $|G|=p^em$ que $p$ es un número primo y $(p,m)=1$ . Suponga que $a$ es el número de subgrupos $p$ - Sylow de $G$ ( $H<G$ tal que $|H|=p^e$ ) . Demuestre que $a|m$ y $p|a-1$ . (Pista: puede usar esto: cada dos subgrupos $p$ - Sylow son conjugados.)

Demuestre que el grupo de simetrías que preservan la orientación del cubo es isomorfo a $S_4$ (el grupo de permutaciones de $\{1,2,3,4\}$ ) .

números $n^2+1$ Demuestre que hay infinitos números naturales de la forma $n^2+1$ tales que no tienen ningún divisor de la forma $k^2+1$ excepto $1$ y ellos mismos.

función interesante $S$ es un conjunto con $n$ elementos y $P(S)$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $S$ y $f : P(S) \rightarrow \mathbb N$ es una función con estas propiedades: para cada subconjunto $A$ de $S$ tenemos $f(A)=f(S-A)$ . Para cada dos subconjuntos de $S$ como $A$ y $B$ tenemos $max(f(A),f(B))\ge f(A\cup B)$ demuestre que el número de números naturales como $x$ tales que existe $A\subseteq S$ y $f(A)=x$ es menor que $n$ .

poliedros Llamamos a un $12$ - gon en el plano bueno siempre que: primero, debe ser regular, segundo, su plano interior debe estar lleno!!, tercero, su centro debe ser el origen de las coordenadas, cuarto, sus vértices deben tener puntos $(0,1)$ , $(1,0)$ , $(-1,0)$ y $(0,-1)$ . Encuentre las caras del poliedro más masivo que su imagen en cada tres plano $xy$ , $yz$ y $zx$ es un buen $12$ - gon. (es obvio que los centros de estos tres $12$ - gons son el origen de las coordenadas para tres dimensiones.)

secuencia interesante $n$ es un número natural y $x_1,x_2,...$ es una secuencia de números $1$ y $-1$ con estas propiedades: es periódica y su número de período más pequeño es $2^n-1$ . (significa que para cada número natural $j$ tenemos $x_{j+2^n-1}=x_j$ y $2^n-1$ es el número más pequeño con esta propiedad.) Existen enteros distintos $0\le t_1<t_2<...<t_k<n$ tales que para cada número natural $j$ tenemos \[x_{j+n}=x_{j+t_1}\times x_{j+t_2}\times ... \times x_{j+t_k}\] Demuestre que para cada número natural $s$ que $s<2^n-1$ tenemos \[\sum_{i=1}^{2^n-1}x_ix_{i+s}=-1\]

alfombra Suponga que $S$ es una figura en el plano tal que su borde no contiene ningún punto de la red. Suponga que $x,y$ son dos puntos de la red con distancia $1$ (llamamos punto de la red si sus coordenadas son enteros). Suponga que podemos cubrir el plano con copias de $S$ tal que $x,y$ siempre vayan sobre puntos de la red (puede rotar o invertir copias de $S$ ) . Demuestre que el área de $S$ es igual a los puntos de la red dentro de ella.

puntos en el plano El conjunto $A$ que contiene $n$ puntos en el plano es dado. Una $copia$ de $A$ es un conjunto de puntos que se hace usando transformación, rotación, homogeneidad o su combinación en elementos de $A$ . Queremos poner $n$ $copias$ de $A$ en el plano, de tal manera que cada dos copias tengan exactamente un punto en común y cada tres de ellas no tengan elementos en común. a) Demuestre que si ningún $4$ puntos de $A$ hacen un paralelogramo, puede hacer esto solo usando transformación. ( $A$ no tiene un paralelogramo con ángulo $0$ y un paralelogramo que sus dos vértices no adyacentes son uno!) b) Demuestre que siempre puede hacer esto usando una combinación de todas estas cosas.

cubo rodante $a$ , $b$ y $c$ son números naturales. Tenemos un cubo $(2a+1)\times (2b+1)\times (2c+1)$ . Este cubo está en un plano infinito con cuadrados unitarios. Puedes rodar el cubo hacia cada lado que quieras. Las caras del cubo se dividen en cuadrados unitarios y el cuadrado en el medio de cada cara está coloreado (significa que si este cuadrado va sobre un cuadrado del plano, entonces ese cuadrado se coloreará). Demuestre que si dos de las longitudes de los lados del cubo son relativamente primos, entonces podemos colorear cada cuadrado en el plano.

El polinomio de dos variables $P(x,y)$ es un polinomio de dos variables con coeficientes reales. El grado de un monomio significa la suma de las potencias de $x$ e $y$ en él. Denotamos por $Q(x,y)$ la suma de los monomios con el mayor grado en $P(x,y)$ . (por ejemplo, si $P(x,y)=3x^4y-2x^2y^3+5xy^2+x-5$ entonces $Q(x,y)=3x^4y-2x^2y^3$ . ) Suponga que hay números reales $x_1$ , $y_1$ , $x_2$ e $y_2$ tales que $Q(x_1,y_1)>0$ , $Q(x_2,y_2)<0$ demuestre que el conjunto $\{(x,y)|P(x,y)=0\}$ no está acotado. (llamamos a un conjunto $S$ de plano acotado si existe un número positivo $M$ tal que la distancia de los elementos de $S$ desde el origen es menor que $M$ . )