Suponga que $C$ es un subconjunto convexo de $\mathbb R^{d}$ . Suponga que $C_{1},C_{2},\dots,C_{n}$ son traslaciones de $C$ tales que $C_{i}\cap C\neq\emptyset$ pero $C_{i}\cap C_{j}=\emptyset$ . Pruebe que \[n\leq 3^{d}-1\] Pruebe que $3^{d}-1$ es la mejor cota. P.S. En el problema del examen se dio para $n=3$ .

Una regla de cálculo es una regla para hacer cálculos algebraicos. Esta regla tiene tres brazos, dos de ellos son estacionarios y uno puede moverse libremente a derecha e izquierda. Cada uno de los brazos tiene una graduación. La graduación de cada brazo depende de la operación algebraica que realiza la regla. Por ejemplo, la regla de abajo está diseñada para multiplicar dos números. Las graduaciones son logarítmicas. Para trabajar con la regla, (por ejemplo, para calcular $x.y$ ) debemos mover el brazo del medio de modo que la flecha al principio de su graduación se ubique sobre la $x$ en el brazo inferior. Encontramos $y$ en el brazo del medio y leeremos el número en el brazo superior. El número escrito en la regla es la respuesta. 1) Diseñe una regla para calcular $x^{y}$ . Gradúe el primer brazo ( $x$ ) e ( $y$ ) de 1 a 10. 2) Encuentre todas las reglas que hacen la multiplicación en el intervalo $[1,10]$ . 3) Pruebe que no existe una regla para calcular $x^{2}+xy+y^{2}$ , que su primer y segundo brazo estén graduados de 0 a 10.

La imagen que se muestra a continuación es una cruz con longitud 2. Si la longitud de una cruz de longitud $k$ se llama $k$ - cruz. (Cada $k$ - cruz tiene $6k+1$ cuadrados.) a) Pruebe que el espacio se puede teselar con $1$ - cruces. b) Pruebe que el espacio se puede teselar con $2$ - cruces. c) Pruebe que para $k\geq5$ el espacio no se puede teselar con $k$ - cruces.

Para $A\subset\mathbb Z$ y $a,b\in\mathbb Z$ . Definimos $aA+b: =\{ax+b|x\in A\}$ . Si $a\neq0$ entonces llamamos a $aA+b$ y $A$ conjuntos similares. En esta pregunta, el conjunto de Cantor $C$ es el número de enteros no negativos que en su representación en base 3 no hay ningún dígito $1$ . Ves que \[C=(3C)\dot\cup(3C+2)\ \ \ \ \ (1)\] (es decir, $C$ se divide en conjuntos $3C$ y $3C+2$ ) . Damos otro ejemplo $C=(3C)\dot\cup(9C+6)\dot\cup(3C+2)$ . Una representación de $C$ es una partición de $C$ en algunos conjuntos similares. es decir \[C=\bigcup_{i=1}^{n}C_{i}\ \ \ \ \ (2)\] y $C_{i}=a_{i}C+b_{i}$ son similares a $C$ . Llamamos a una representación de $C$ una representación primitiva si la unión de algunos de $C_{i}$ no es un conjunto similar y no es igual a $C$ . Considere una representación primitiva del conjunto de Cantor. Pruebe que a) $a_{i}>1$ . b) $a_{i}$ son potencias de 3. c) $a_{i}>b_{i}$ d) (1) es la única representación primitiva de $C$ .

Un líquido se mueve en una tubería infinita. Para cada molécula si está en un punto con coordenada $x$ entonces después de $t$ segundos estará en un punto de $p(t,x)$ . Pruebe que si $p(t,x)$ es un polinomio de $t,x$ entonces la velocidad de todas las moléculas es igual y constante.

Un poliedro regular es un poliedro convexo y todas sus caras son polígonos regulares. Llamamos a un poliedro regular un 'Choombam' si ninguna de sus caras son triángulos. a) pruebe que cada choombam se puede inscribir en una esfera. b) Pruebe que las caras de cada choombam son polígonos de a lo sumo 3 tipos. (es decir, existe un conjunto $\{m,n,q\}$ tal que cada cara de un choombam es un $n$ - gono o un $m$ - gono o un $q$ - gono.) c) Pruebe que solo hay un choombam cuyas caras son pentágonos y hexágonos. (Balón de fútbol) d) Para $n>3$ , un prisma cuyas caras son 2 $n$ - gonos regulares y $n$ cuadrados, es un choombam. Pruebe que excepto estos choombams hay finitamente muchos choombams.

La Fundación Nacional de la Felicidad (NFoH) quiere estimar la felicidad de las personas del país. NFoH seleccionó $n$ personas al azar, y cada mañana preguntó a cada una de ellas si está feliz o no. En dos días distintos cualesquiera, exactamente la mitad de las personas dieron la misma respuesta. Muestre que después de $k$ días, había a lo sumo $n-\frac{n}{k}$ personas cuyas respuestas 'sí' son iguales a sus respuestas 'no'.

Sea $E$ una familia de subconjuntos de $\{1,2,\ldots,n\}$ con la propiedad de que para cada $A\subset \{1,2,\ldots,n\}$ existe $B\in F$ tal que $\frac{n-d}2\leq |A \bigtriangleup B| \leq \frac{n+d}2$ . (donde $A \bigtriangleup B = (A\setminus B) \cup (B\setminus A)$ es la diferencia simétrica). Denotemos por $f(n,d)$ la cardinalidad mínima de tal familia. a) Pruebe que si $n$ es par entonces $f(n,0)\leq n$ . b) Pruebe que si $n-d$ es par entonces $f(n,d)\leq \lceil \frac n{d+1}\rceil$ . c) Pruebe que si $n$ es par entonces $f(n,0) = n$

Sea $D$ una familia de subconjuntos de $s$ elementos de $\{1.\ldots,n\}$ tal que cada $k$ miembros de $D$ tienen intersección no vacía. Denotemos por $D(n,s,k)$ la cardinalidad máxima de tal familia. a) Encuentre $D(n,s,4)$ . b) Encuentre $D(n,s,3)$ .

Sea $C$ una familia (probablemente infinita) de subconjuntos de $\mathbb{N}$ tal que para cada cadena $C_{1}\subset C_{2}\subset \ldots$ de miembros de $C$ , existe un miembro de $C$ que los contiene a todos. Muestre que existe un miembro de $C$ tal que ningún otro miembro de $C$ lo contiene!