$X$ e $Y$ son dos puntos que se encuentran en o en las extensiones del lado $BC$ de $\triangle{ABC}$ tal que $\widehat{XAY} = 90$ . Sea $H$ el ortocentro de $\triangle{ABC}$ . Tome $X'$ e $Y'$ como los puntos de intersección de $(BH,AX)$ y $(CH,AY)$ respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\triangle{CYY'}$ , la circunferencia circunscrita de $\triangle{BXX'}$ y $X'Y'$ son concurrentes.

$D$ es un punto arbitrario que se encuentra en el lado $BC$ de $\triangle{ABC}$ . El círculo $\omega_1$ es tangente a los segmentos $AD$ , $BD$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ y el círculo $\omega_2$ es tangente a los segmentos $AD$ , $CD$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ . Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $\omega_1$ y $\omega_2$ con $BC$ respectivamente y tomemos $M$ como el punto medio de $XY$ . Sea $T$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$ . Si $I$ es el incentro de $\triangle{ABC}$ , demuestre que $TM$ pasa por el punto medio de $ID$ .

Puntos distintos $B,B',C,C'$ se encuentran en una línea arbitraria $\ell$ . $A$ es un punto que no se encuentra en $\ell$ . Una línea que pasa por $B$ y es paralela a $AB'$ se interseca con $AC$ en $E$ y una línea que pasa por $C$ y es paralela a $AC'$ se interseca con $AB$ en $F$ . Sea $X$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle{ABC}$ y $\triangle{AB'C'}$ ( $A \neq X$ ) . Demuestre que $EF \parallel AX$ .

$\triangle{ABC}$ es isósceles $(AB=AC)$ . Los puntos $P$ y $Q$ existen dentro del triángulo tal que $Q$ se encuentra dentro de $\widehat{PAC}$ y $\widehat{PAQ} = \frac{\widehat{BAC}}{2}$ . También tenemos $BP=PQ=CQ$ . Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $(AP,BQ)$ y $(AQ,CP)$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $PQYX$ es cíclico.

En la circunferencia circunscrita al triángulo $\triangle ABC,$ $AA'$ es un diámetro. Dibujamos líneas $l'$ y $l$ desde $A'$ paralelas con la bisectriz interna y externa del vértice $A$ . $l'$ Corta $AB , BC$ en $B_1$ y $B_2$ . $l$ Corta $AC , BC$ en $C_1$ y $C_2$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle ABC$ $\triangle CC_1C_2$ y $\triangle BB_1B_2$ tienen un punto en común.

Sean $L_1, L_2, L_3, L_4$ cuatro rectas en el espacio tales que no hay tres de ellas en el mismo plano. Sean $L_1, L_2$ se intersecan en $A$ , $L_2,L_3$ se intersecan en $B$ y $L_3, L_4$ se intersecan en $C.$ Encontrar el número mínimo y máximo de rectas en el espacio que intersecan a $L_1, L_2, L_3$ y $L_4.$ Justificar su respuesta.

Encontrar todas las funciones continuas $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que\n\[f(x^2-y^2)=f(x)^2 + f(y)^2, \quad \forall x,y \in \mathbb R.\]

Calcular el producto:\n\[A=\sin 1^\circ \times \sin 2^\circ \times \sin 3^\circ \times \cdots \times \sin 89^\circ\]

Nos referimos a un triángulo en $\mathbb Q^{n}$ , 3 puntos que no son colineales en $\mathbb Q^{n}$ a) Suponga que $ABC$ es un triángulo en $\mathbb Q^{n}$ . Pruebe que existe un triángulo $A'B'C'$ en $\mathbb Q^{5}$ tal que $\angle B'A'C'=\angle BAC$ . b) Encuentre un $m$ natural tal que para cada triángulo que se puede incrustar en $\mathbb Q^{n}$ se pueda incrustar en $\mathbb Q^{m}$ . c) Encuentre un triángulo que se pueda incrustar en $\mathbb Q^{n}$ y ningún triángulo similar a él se pueda incrustar en $\mathbb Q^{3}$ . d) Encuentre un $m'$ natural tal que para cada triángulo que se pueda incrustar en $\mathbb Q^{n}$ entonces existe un triángulo similar a él, que se pueda incrustar en $\mathbb Q^{m}$ . Debe probar el problema para $m=9$ y $m'=6$ para obtener la marca completa. (Mejores resultados conducen a una marca adicional.)

Tenemos un número finito de formas distintas en el plano. Un 'Kearting convexo' de estas formas es cubrir el plano con conjuntos convexos, de modo que cada conjunto consta exactamente de una de las formas, y los conjuntos se intersecan a lo sumo en la frontera. ¿En qué caso es posible el Kearting Convexo? 1) Puntos distintos finitos 2) Segmentos distintos finitos 3) Círculos distintos finitos