Sea $B$ un subconjunto de $\mathbb{Z}_{3}^{n}$ con la propiedad de que para cada dos miembros distintos $(a_{1},\ldots,a_{n})$ y $(b_{1},\ldots,b_{n})$ de $B$ existe $1\leq i\leq n$ tal que $a_{i}\equiv{b_{i}+1}\pmod{3}$ . Pruebe que $|B| \leq 2^{n}$ .

Sea $A$ una familia de subconjuntos de $\{1,2,\ldots,n\}$ tal que ningún miembro de $A$ está contenido en otro. El teorema de Sperner establece que $|A|\leq{n\choose{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}$ . Encuentre todas las familias para las cuales se cumple la igualdad.

Se dan el número primo $p$ y un entero positivo $k$. Asuma que $P(x)\in \mathbb Z[X]$ es un polinomio con coeficientes en el conjunto $\{0,1,\cdots,p-1\}$ con el grado más bajo que satisface la siguiente propiedad: Existe una permutación de números $1,2,\cdots,p-1$ alrededor de un círculo tal que para cualquier $k$ números consecutivos $a_1,a_2,\cdots,a_k$ se tiene\n$$\np | P(a_1)+P(a_2)+\cdots+ P(a_k).\n$$\nDemuestre que $P(x)$ es de la forma $ax^d+b$.

Para todos los enteros positivos $n$ Demuestre que se pueden encontrar enteros coprimos por pares $a,b,c>n$ tales que el conjunto de divisores primos de los números $a+b+c$ y $ab+bc+ac$ coinciden.

Dada una secuencia $x_1,x_2,x_3,\cdots$ de enteros positivos, Ali procede con el siguiente algoritmo: En el i-ésimo paso marca todos los números racionales en el intervalo $[0,1]$ que tienen denominador igual a $x_i$. Luego escribe el número $a_i$ igual a la longitud del intervalo más pequeño en $[0,1]$ donde ambos extremos son números marcados. Encuentre todas las secuencias $x_1,x_2,x_3,\cdots$ con $x_5=5$ y tales que para todo $n\in \mathbb N$ tenemos\n$$\na_1+a_2+\cdots+a_n= 2-\dfrac{1}{x_n}.\n$$

Sea $ABC$ un triángulo con alturas $AD, BE, CF$ y ortocentro $H$. La bisectriz perpendicular de $HD$ se encuentra con $EF$ en $P$ y $N$ es el centro del círculo de los nueve puntos. Sea $L$ un punto en la circunferencia circunscrita de $ABC$ tal que $\angle PLN=90^{\circ}$ y $A, L$ están en lados distintos de la línea $PN$. Demuestre que $ANDL$ es cíclico.

Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ del $\triangle ABC$. La perpendicular en $A$ a $AM$ se encuentra con $(ABC)$ en $K$. Las alturas $BE,CF$ del triángulo $ABC$ se encuentran con $AK$ en $P, Q$. Demuestre que el eje radical de las circunferencias circunscritas de los triángulos $PKE, QKF$ es perpendicular a $BC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $M$ el punto medio del arco $ABC$. El círculo con centro $M$ y radio $MA$ se encuentra con $AD, AB$ en $X, Y$. El punto $Z \in XY$ con $Z \neq Y$ satisface $BY=BZ$. Demuestre que $\angle BZD=\angle BCD$.

$m,n$ son números enteros dados tales que $m+n$ es un número impar. Las aristas de un grafo bipartito completo $K_{m,n}$ están etiquetadas por ${-1,1}$ tales que la suma de todas las etiquetas es $0$. Demuestre que existe un árbol de expansión tal que la suma de las etiquetas de sus aristas es igual a $0$.

Considere la diagonal principal y las celdas por encima de ella en una cuadrícula de \( n \times n \). Estas celdas forman lo que llamamos un triángulo tabular de longitud \( n \). Queremos colocar un número real en cada celda de un triángulo tabular de longitud \( n \) tal que para cada celda, la suma de los números en las celdas en la misma fila y la misma columna (incluida ella misma) sea cero. Por ejemplo, la suma de las celdas marcadas con un círculo es cero. Se sabe que el número en la celda superior e izquierda es $1.$ Encuentre todas las formas posibles de llenar las celdas restantes.