Los miembros de la sociedad 'Acertijos Profesionales' se han dividido en algunos grupos, y los grupos se cambian de una manera especial cada fin de semana: En cada grupo, uno de los miembros se especifica como el mejor miembro, y los mejores miembros de todos los grupos se separan de su grupo anterior y forman un nuevo grupo. Si un grupo tiene sólo un miembro, ese miembro se une al nuevo grupo y el grupo anterior será eliminado. Suponga que la sociedad tiene $n$ miembros al principio, y todos los miembros están en un grupo. Pruebe que llegará una semana, después de la cual el número de miembros de cada grupo será como máximo $1+\sqrt{2n}$ .

Un subconjunto $S$ de números reales positivos se llama poderoso si para cualesquiera dos elementos distintos $a, b$ de $S$ , al menos uno de $a^{b}$ o $b^{a}$ también es un elemento de $S$ . a) Dé un ejemplo de un conjunto poderoso de cuatro elementos. b) Pruebe que todo conjunto poderoso finito tiene como máximo cuatro elementos.

Encuentre todos los enteros positivos $(m,n)$ tales que \[n^{n^{n}}=m^{m}.\]

Encuentre todos los polinomios $ p\in\mathbb Z[x]$ tales que $ (m,n)=1\Rightarrow (p(m),p(n))=1$

El incírculo del triángulo $ ABC$ toca $ AB,AC$ en $ P,Q$ . $ BI, CI$ intersecan con $ PQ$ en $ K,L$ . Demuestre que el circuncírculo de $ ILK$ es tangente al incírculo de $ ABC$ si y solo si $ AB+AC=3BC$ .

Encuentre todos los números primos $p$ tales que $ p = m^2 + n^2$ y $p\mid m^3+n^3-4$ .

$ \Delta_1,\ldots,\Delta_n$ son $ n$ segmentos concurrentes (sus líneas concurren) en el plano real. Demuestre que si para cada tres de ellos existe una línea que interseca estos tres segmentos, entonces existe una línea que interseca todos los segmentos.

Se dan finitamente muchos puntos en la superficie de una esfera, tales que cada cuatro de ellos se encuentran en la superficie de un hemisferio abierto. Demuestre que todos los puntos se encuentran en la superficie de un hemisferio abierto.

Se dan finitamente muchos subconjuntos convexos de $\mathbb R^3$ , tales que cada tres tienen intersección no vacía. Demuestre que existe una línea en $\mathbb R^3$ que interseca todos estos subconjuntos.

En el triángulo $ ABC$ , los puntos $ M,N$ se encuentran en la línea $ AC$ tal que $ MA=AB$ y $ NB=NC$ . También $ K,L$ se encuentran en la línea $ BC$ tal que $ KA=KB$ y $ LA=LC$ . Se sabe que $ KL=\frac12{BC}$ y $ MN=AC$ . Encuentre los ángulos del triángulo $ ABC$ .