Sea $\mathcal P$ el conjunto de todos los puntos en $\mathbb R^n$ con coordenadas racionales. Para los puntos $A,B \in \mathcal l{P}$ , uno puede moverse de $A$ a $B$ si la distancia $AB$ es $1$ . Demuestra que cada punto en $\mathcal l{ P}$ puede ser alcanzado desde cualquier otro punto en $\mathcal{P}$ por una secuencia finita de movimientos si y solo si $n \geq 5$ .

En un triángulo acutángulo $ABC$ sean $AD$ y $BE$ alturas, y $AP$ y $BQ$ bisectrices. Sean $I$ y $O$ los centros de la circunferencia inscrita y circunscrita, respectivamente. Demuestra que los puntos $D, E$ , e $I$ son colineales si y solo si los puntos $P, Q$ , y $O$ son colineales.

Sean $x, y, z$ números reales mayores que $1$ tales que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ . Demuestra que \[\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\leq \sqrt{x+y+z}.\]

Sea $S = \{x_0, x_1,\dots , x_n\}$ un conjunto finito de números en el intervalo $[0, 1]$ con $x_0 = 0$ y $x_1 = 1$ . Consideramos las distancias por pares entre los números en $S$ . Si cada distancia que aparece, excepto la distancia $1$ , ocurre al menos dos veces, demuestra que todos los $x_i$ son racionales.

En un triángulo acutángulo $ABC$ , los puntos $D,E,F$ son los pies de las alturas desde $A,B,C$ , respectivamente. Una línea que pasa por $D$ paralela a $EF$ corta a $AC$ en $Q$ y a $AB$ en $R$ . Las líneas $BC$ y $EF$ se intersecan en $P$ . Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $PQR$ pasa por el punto medio de $BC$ .

Supón que $a, b, x$ son enteros positivos tales que \[x^{a+b}=a^bb\] Demuestra que $a=x$ y $b=x^x$ .

Sea $d$ un número real tal que $d^2=r^2+s^2$ , donde $r$ y $s$ son números racionales. Demuestra que podemos colorear todos los puntos del plano con coordenadas racionales con dos colores diferentes de tal manera que los puntos con distancia $d$ tengan diferentes colores.

Sean $ABC$ y $XYZ$ dos triángulos. Define \[A_1=BC\cap ZX, A_2=BC\cap XY,\] \[B_1=CA\cap XY, B_2=CA\cap YZ,\] \[C_1=AB\cap YZ, C_2=AB\cap ZX.\] Aquí, la abreviación $g\cap h$ significa el punto de intersección de dos líneas $g$ y $h$ . Demuestra que $\frac{C_1C_2}{AB}=\frac{A_1A_2}{BC}=\frac{B_1B_2}{CA}$ se cumple si y solo si $\frac{A_1C_2}{XZ}=\frac{C_1B_2}{ZY}=\frac{B_1A_2}{YX}$ .

Sea $P$ un polinomio con coeficientes enteros. Existen enteros $a$ y $b$ tales que $P(a) \cdot P(b)=-(a-b)^2$ . Demuestra que $P(a)+P(b)=0$ .

Asuma tres círculos mutuamente externos entre sí con la propiedad de que cada línea que separa a dos de ellos tiene intersección con el interior del tercero. Demuestre que la suma de las distancias por pares entre sus centros es a lo sumo $2\sqrt{2}$ veces la suma de sus radios. (Una línea separa dos círculos, siempre que los círculos no tengan intersección con la línea y estén en diferentes lados de ella.) Nota. Los resultados más débiles con $2\sqrt{2}$ reemplazados por algún otro $c$ pueden ser premiados con puntos dependiendo del valor de $c>2\sqrt{2}$