$ \mathcal F$ es una familia de 3-subconjuntos del conjunto $ X$ . Cada dos elementos distintos de $ X$ están exactamente en $ k$ elementos de $ \mathcal F$ . Se sabe que hay una partición de $ \mathcal F$ en conjuntos $ X_1,X_2$ tal que cada elemento de $ \mathcal F$ tiene una intersección no vacía con ambos $ X_1,X_2$ . Demuestre que $ |X|\leq4$ .

Suponga que $ \mathcal F$ es una familia de subconjuntos de $ X$ . $ A,B$ son dos subconjuntos de $ X$ s.t. cada elemento de $ \mathcal{F}$ tiene una intersección no vacía con $ A, B$ . Sabemos que ningún subconjunto de $ X$ con $ n - 1$ elementos tiene esta propiedad. Demuestre que hay una representación $ A,B$ en la forma $ A = \{a_1,\dots,a_n\}$ y $ B = \{b_1,\dots,b_n\}$ , tal que para cada $ 1\leq i\leq n$ , hay un elemento de $ \mathcal F$ que contiene ambos $ a_i, b_i$ .

$ a_1, a_2, \ldots, a_n$ son enteros, no todos iguales. Demuestre que existen infinitos números primos $ p$ tales que para algún $ k$ \[ p\mid a_1^k + \dots + a_n^k.\]

$ p(x)$ es un polinomio en $ \mathbb{Z}[x]$ tal que para cada $ m,n\in \mathbb{N}$ existe un entero $ a$ tal que $ n\mid p(a^m)$ . Demuestre que $0$ o $1$ es una raíz de $ p(x)$ .

Encuentre todas las soluciones enteras de $ p^3=p^2+q^2+r^2$ donde $ p,q,r$ son primos.

Demuestre que para cualquier $ n$ , existe un subconjunto $ \{a_1,\dots,a_n\}$ de $ \mathbb N$ tal que para cada subconjunto $ S$ de $ \{1,\dots,n\}$ , $ \sum_{i\in S}a_i$ tiene el mismo conjunto de divisores primos.

Sea $ p=4k+1$ un primo. Demuestre que $ p$ tiene al menos $ \frac{\phi(p-1)}2$ raíces primitivas.

Sea $ABC$ un triángulo. Sea el punto $X$ en el triángulo y $AX$ interseca a $BC$ en $Y$ . Dibuje las perpendiculares $YP,YQ,YR,YS$ a las líneas $CA,CX,BX,BA$ respectivamente. Encuentre la condición necesaria y suficiente para $X$ tal que $PQRS$ sea cíclico .

Este problema es fácil pero nadie lo resolvió. El punto $A$ se mueve en una línea con velocidad $v$ y $B$ también se mueve con velocidad $v'$ tal que en todo momento la dirección del movimiento de $B$ va desde $A$ . Sabemos que $v \geq v'$ . Si conocemos el punto de inicio del camino de $A$ , entonces $B$ debe estar donde al principio para que $B$ pueda alcanzar a $A$ .

Definimos $ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ , $ f(n) = \sum_{k = 1}^{n}(k,n)$ . a) Muestre que si $ \gcd(m,n)=1$ entonces tenemos $ f(mn)=f(m)\cdot f(n)$ ; b) Muestre que $ \sum_{d|n}f(d) = nd(n)$ .