Suponga que $f : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ es una función que satisface $f(1) = 1$ y $f(n + 1) =\{\begin{array}{cc} f(n)+2&\mbox{if}\ n=f(f(n)-n+1),\f(n)+1& \mbox{Otherwise}\end {array}$ $(a)$ Demuestra que $f(f(n)-n+1)$ es $n$ o $n+1$. $(b)$ Determin e $f$.

Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos arbitrarios y sean $f: A\longrightarrow B$ y $g: B\longrightarrow A$ funciones tales que $g$ no es sobreyectiva. Demuestra que existe un subconjunto $S$ de $A$ tal que $\frac{A}{S}=g(\frac{B}{f(S)})$.

Dos círculos se intersecan en dos puntos $A$ y $B$. Una línea $\ell$ que pasa por el punto $A$ se encuentra con los dos círculos nuevamente en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $BC$ y $BD$ (que no contienen el punto $A$ ) en los círculos respectivos. Sea $K$ el punto medio del segmento $CD$. Demuestra que $\measuredangle MKN = 90^{\circ}$.

Dos triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ están posicionados en el espacio de tal manera que la longitud de cada lado de $ \triangle ABC$ no es menor que $a$, y la longitud de cada lado de $ \triangle A'B'C'$ no es menor que $a'$. Demuestra que se puede seleccionar un vértice de $ \triangle ABC$ y un vértice de $ \triangle A'B'C'$ de modo que la distancia entre los dos vértices seleccionados no sea menor que $ \sqrt {\frac {a^2 + a'^2}{3}}$.

Los círculos $C_1$ y $C_2$ con centros en $O_1$ y $O_2$ respectivamente se encuentran en los puntos $A$ y $B$. Los radios $O_1B$ y $O_2B$ se encuentran con $C_1$ y $C_2$ en $F$ y $E$. La línea que pasa por $B$ paralela a $EF$ interseca a $C_1$ nuevamente en $M$ y a $C_2$ nuevamente en $N$. Demuestra que $MN = AE + AF$.

Una secuencia de números naturales $c_1, c_2,\dots$ se llama perfecta si todo número natural $m$ con $1\le m \le c_1 +\dots+ c_n$ puede representarse como $m =\frac{c_1}{a_1}+\frac{c_2}{a_2}+\dots+\frac{c_n}{a_n}$ Dado $n$ , encuentra el máximo valor posible de $c_n$ en una secuencia perfecta $(c_i)$.

Se dice que dos círculos en un espacio tridimensional son tangentes por pares en un punto $P$ si ambos pasan por $P$ y las líneas tangentes a cada círculo en $P$ coinciden. Tres círculos no todos en un plano son tangentes por pares en tres puntos distintos. Demuestra que existe una esfera que pasa por los tres círculos.

Sean $A_1,A_2,\cdots,A_n$ $n$ puntos distintos en el plano ( $n>1$ ) . Consideramos todos los segmentos $A_iA_j$ donde $i<j\leq{n}$ y coloreamos los puntos medios de ellos. ¿Cuál es el número mínimo de puntos coloreados? (De hecho, si $k$ puntos coloreados coinciden, los contamos $1$ . )

Sea $ABC$ un triángulo y los puntos $P,Q,R$ estén en los lados $AB,BC,AC$ , respectivamente. Ahora, sean $A',B',C'$ en los segmentos $PR,QP,RQ$ de tal manera que $AB||A'B'$ , $BC||B'C'$ y $AC||A'C'$ . Pruebe que:\n\[\n\frac{AB}{A'B'}=\frac{S_{PQR}}{S_{A'B'C'}}.\n\]\nDonde $S_{XYZ}$ es la superficie del triángulo $XYZ$ .

Encuentra todos los enteros positivos $m$ tales que existen enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_{1378}$ tales que:\n\[\nm=\sum_{k=1}^{1378}{\frac{k}{a_k}}.\n\]