Dado un número $k\in \mathbb{N}$ . $\{a_{n}\}_{n\geq 0}$ y $\{b_{n}\}_{n\geq 0}$ son dos secuencias de enteros positivos que $a_{i},b_{i}\in \{1,2,\cdots,9\}$ . Para todo $n\geq 0$ $$\left.\overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}+k \ \middle| \ \overline{b_{n}\cdots b_{1}b_{0}}+k \right. .$$ Demuestre que existe un número $1\leq t \leq 9$ y $N\in \mathbb{N}$ tal que $b_n=ta_n$ para todo $n\geq N$ . (Tenga en cuenta que $(\overline{x_nx_{n-1}\dots x_0}) = 10^n\times x_n + \dots + 10\times x_1 + x_0$ )

Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se encuentran en dos puntos distintos $A$ y $B$. Una línea que pasa por $A$ se encuentra con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ de nuevo en $C$ y $D$ respectivamente, de tal manera que $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. La tangente en $A$ a $\Gamma_2$ se encuentra con $\Gamma_1$ de nuevo en $E$. Sea $F$ un punto en $\Gamma_2$ tal que $F$ y $A$ se encuentran en lados diferentes de $BD$, y $2\angle AFC=\angle ABC$. Demuestra que la tangente en $F$ a $\Gamma_2$, y las líneas $BD$ y $CE$ son concurrentes.

Considera un pentágono convexo $ABCDE$ y un punto variable $X$ en su lado $CD$. Supón que los puntos $K, L$ se encuentran en el segmento $AX$ tal que $AB = BK$ y $AE = EL$ y que las circunferencias circunscritas de los triángulos $CXK$ y $DXL$ se intersectan por segunda vez en $Y$. A medida que $X$ varía, demuestra que todas esas líneas $XY$ pasan por un punto fijo, o son todas paralelas.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con su incentro $I$ y su circuncírculo $\Gamma$. La línea $AI$ intersecta a $\Gamma$ por segunda vez en $M$. Sea $N$ el punto medio de $BC$ y $T$ el punto en $\Gamma$ tal que $IN \perp MT$. Finalmente, sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $TB $ y $TC$, respectivamente, con la línea perpendicular a $AI$ en $I$. Demuestra que $PB = CQ$.

Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $AB = BC $ y $\angle ABD = \angle BCD = 90$. Sea el punto $E$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. El punto $F$ se encuentra en el lado $AD$ tal que $\frac{AF}{F D}=\frac{CE}{EA}$ . . El círculo $\omega$ con diámetro $DF$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ABF$ se intersectan por segunda vez en el punto $K$. El punto $L$ es la segunda intersección de $EF$ y $\omega$. Demuestra que la línea $KL$ pasa por el punto medio de $CE$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Los puntos $E, F$ se encuentran en los lados $AB, CD$ respectivamente, tal que $\angle EDC = \angle FBC$ y $\angle ECD = \angle FAD$. Demuestra que $AB \geq 2BC$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$. Sea $H$ el ortocentro de $ABC$. El punto $E$ es el punto medio de $AC$ y el punto $D$ se encuentra en el lado $BC$ tal que $3CD = BC$. Demuestra que $BE \perp HD$.

Sean $A_1, A_2, . . . , A_{2021}$ 2021 puntos en el plano, no tres colineales y $$\n\angle A_1A_2A_3 + \angle A_2A_3A_4 +... + \angle A_{2021}A_1A_2 = 360^o,\n$$\nen el que por el ángulo $\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$ nos referimos al que es menor que $180^o$ (asumir que $A_{2022} =A_1$ y $A_0 = A_{2021}$ ) . Demostrar que algunos de estos ángulos sumarán $90^o$.

En el trapecio isósceles $ABCD$ ($AB \parallel CD$) los puntos $E$ y $F$ se encuentran en el segmento $CD$ de tal manera que $D, E, F$ y $C$ están en ese orden y $DE = CF$. Sean $X$ e $Y$ la reflexión de $E$ y $C$ con respecto a $AD$ y $AF$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADF$ y $BXY$ son concéntricas.

Como se muestra en la siguiente figura, un corazón es una figura que consta de tres semicírculos con diámetros $AB$, $BC$ y $AC$ de tal manera que $B$ es el punto medio del segmento $AC$. Se da un corazón $\omega$. Llamar a un par $(P, P')$ bisector si $P$ y $P'$ se encuentran en $\omega$ y bisecan su perímetro. Sean $(P, P')$ y $(Q,Q')$ pares bisectores. Las tangentes en los puntos $P, P', Q$ y $Q'$ a $\omega$ construyen un cuadrilátero convexo $XYZT$. Si el cuadrilátero $XYZT$ está inscrito en un círculo, encontrar el ángulo entre las líneas $PP'$ y $QQ'$.\n\n