Sean $a_1, a_2, ..., a_n$ números reales tales que $a_1 = a_n = a$ y $a_{k+1} \le \frac{a_k + a_{k+2}}{2} $ , para todo $k = 1, 2, ..., n - 2$ . Demuestra que $a_k \le a,$ para todo $k = 1, 2, ..., n.$

Sea $ABC$ un triángulo y $A', B', C'$ los puntos en los que su incírculo toca los lados $BC, CA, AB$ , respectivamente. Denotamos por $I$ el incentro y por $P$ su proyección sobre $AA' $ . Sea $M$ el punto medio del segmento de línea $[A'B']$ y $N$ el punto de intersección de las líneas $MP$ y $AC$ . Demuestra que $A'N $ es paralelo a $B'C'$

$100$ pesos, midiendo $1,2, ..., 100$ gramos, respectivamente, se colocan en los dos platos de una balanza de manera que la balanza esté equilibrada. Demuestra que se pueden quitar dos pesos de cada plato de manera que el equilibrio no se rompa.

Considera el triángulo $ABC$ y los puntos $D \in (BC)$ y $M \in (AD)$ . Las líneas $BM$ y $AC$ se intersectan en $E$ , las líneas $CM$ y $AB$ se intersectan en $F$ , y las líneas $EF$ y $AD$ se intersectan en $N$ . Demuestra que $$\frac{AN}{DN}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AM}{DM}$$

Sean $x$ e $y$ dos números racionales y $n$ un entero positivo impar. Demuestra que, si $x^n - 2x = y^n - 2y$ , entonces $x = y$ .

Demuestra que si los números reales positivos $p$ y $q$ satisfacen $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}= 1$ , entonces\na) $\frac{1}{3} \le \frac{1}{p (p + 1)} +\frac{1}{q (q + 1)} <\frac{1}{2}$\nb) $\frac{1}{p (p - 1)} + \frac{1}{q (q - 1)} \ge 1$

Sea $\mathbb N$ el conjunto de todos los enteros positivos. Un subconjunto $A$ de $\mathbb N$ es libre de sumas si, siempre que $x$ e $y$ son miembros (no necesariamente distintos) de $A$, su suma $x+y$ no pertenece a $A$. Determine todas las funciones sobreyectivas $f:\mathbb N\to\mathbb N$ tales que, para cada subconjunto $A$ de $\mathbb N$ libre de sumas, la imagen $\{f(a):a\in A\}$ también es libre de sumas. Nota: una función $f:\mathbb N\to\mathbb N$ es sobreyectiva si, para cada entero positivo $n$, existe un entero positivo $m$ tal que $f(m)=n$.

Sea $n\ge 3$ un entero. En un país hay $n$ aeropuertos y $n$ aerolíneas que operan vuelos de dos vías. Para cada aerolínea, hay un entero impar $m\ge 3$, y $m$ aeropuertos distintos $c_1, \dots, c_m$, donde los vuelos ofrecidos por la aerolínea son exactamente aquellos entre los siguientes pares de aeropuertos: $c_1$ y $c_2$ ; $c_2$ y $c_3$ ; $\dots$ ; $c_{m-1}$ y $c_m$ ; $c_m$ y $c_1$. Demuestre que existe una ruta cerrada que consta de un número impar de vuelos donde no hay dos vuelos operados por la misma aerolínea.

Bethan está jugando un juego en una cuadrícula de $n\times n$ que consta de $n^2$ celdas. Un movimiento consiste en colocar un contador en una celda no ocupada $C$ donde las otras $2n-2$ celdas en la misma fila o columna que $C$ contienen un número par de contadores. Después de hacer $M$ movimientos Bethan se da cuenta de que no puede hacer más movimientos. Determine el valor mínimo de $M$ .

Sea $N \geq 2$ un entero, y sean $\mathbf a$ $= (a_1, \ldots, a_N)$ y $\mathbf b$ $= (b_1, \ldots b_N)$ secuencias de enteros no negativos. Para cada entero $i \not \in \{1, \ldots, N\}$, sea $a_i = a_k$ y $b_i = b_k$, donde $k \in \{1, \ldots, N\}$ es el entero tal que $i-k$ es divisible por $n$. Decimos que $\mathbf a$ es $\mathbf b$ - armónico si cada $a_i$ es igual a la siguiente media aritmética: \[a_i = \frac{1}{2b_i+1} \sum_{s=-b_i}^{b_i} a_{i+s}.\] Suponga que ni $\mathbf a$ ni $\mathbf b$ es una secuencia constante, y que tanto $\mathbf a$ es $\mathbf b$ - armónico como $\mathbf b$ es $\mathbf a$ - armónico. Demuestre que al menos $N+1$ de los números $a_1, \ldots, a_N,b_1, \ldots, b_N$ son cero.