Sea $\displaystyle n \in \mathbb N$ , $\displaystyle n \geq 2$ . Determinar $\displaystyle n$ conjuntos $\displaystyle A_i$ , $\displaystyle 1 \leq i \leq n$ , del plano, disjuntos dos a dos, tales que: (a) para toda circunferencia $\displaystyle \mathcal C$ del plano y para todo $\displaystyle i \in \left\{ 1,2,\ldots,n \right\}$ tenemos $\displaystyle A_i \cap \textrm{Int} \left( \mathcal C \right) \neq \phi$ ; (b) para todas las rectas $\displaystyle d$ del plano y todo $\displaystyle i \in \left\{ 1,2,\ldots,n \right\}$ , la proyección de $\displaystyle A_i$ sobre $\displaystyle d$ no es $\displaystyle d$ .

Demostrar que entre los elementos de la sucesión $\left( \left\lfloor n \sqrt 2 \right\rfloor + \left\lfloor n \sqrt 3 \right\rfloor \right)_{n \geq 0}$ hay una infinidad de números pares y una infinidad de números impares.

Demostrar que para todo $\displaystyle a,b \in \left( 0 ,\frac{\pi}{4} \right)$ y $\displaystyle n \in \mathbb N^\ast$ tenemos \[ \frac{\sin^n a + \sin^n b}{\left( \sin a + \sin b \right)^n} \geq \frac{\sin^n 2a + \sin^n 2b}{\left( \sin 2a + \sin 2b \right)^n} . \]

Sea $\displaystyle M$ un conjunto compuesto por $\displaystyle n$ elementos y sea $\displaystyle \mathcal P (M)$ su conjunto potencia. Hallar todas las funciones $\displaystyle f : \mathcal P (M) \to \{ 0,1,2,\ldots,n \}$ que tienen las propiedades (a) $\displaystyle f(A) \neq 0$ , para $\displaystyle A \neq \phi$ ; (b) $\displaystyle f \left( A \cup B \right) = f \left( A \cap B \right) + f \left( A \Delta B \right)$ , para todo $\displaystyle A,B \in \mathcal P (M)$ , donde $\displaystyle A \Delta B = \left( A \cup B \right) \backslash \left( A \cap B \right)$ .

$\displaystyle 2n$ estudiantes $\displaystyle (n \geq 5)$ participaron en un concurso de tenis de mesa, que duró $\displaystyle 4$ días. En cada día, cada estudiante jugó un partido. (Es posible que la misma pareja se encuentre dos o más veces, en diferentes días) Demostrar que es posible que el concurso termine así: - sólo hay un ganador; - hay $\displaystyle 3$ estudiantes en el segundo lugar; - ningún estudiante perdió los $\displaystyle 4$ partidos. ¿Cuántos estudiantes ganaron sólo un partido y cuántos ganaron exactamente $\displaystyle 2$ partidos? (En las condiciones anteriores)

Tenemos un cuadrilátero $ABCD$ inscrito en una circunferencia de radio $r$ , para el cual existe un punto $P$ en $CD$ tal que $CB=BP=PA=AB$ . (a) Demostrar que existen puntos $A,B,C,D,P$ que cumplen las condiciones anteriores. (b) Demostrar que $PD=r$ .

Sean $\displaystyle ABC$ y $\displaystyle DBC$ triángulos isósceles con la base $\displaystyle BC$ . Sabemos que $\displaystyle \measuredangle ABD = \frac{\pi}{2}$ . Sea $\displaystyle M$ el punto medio de $\displaystyle BC$ . Los puntos $\displaystyle E,F,P$ son elegidos tales que $\displaystyle E \in (AB)$ , $\displaystyle P \in (MC)$ , $\displaystyle C \in (AF)$ , y $\displaystyle \measuredangle BDE = \measuredangle ADP = \measuredangle CDF$ . Demostrar que $\displaystyle P$ es el punto medio de $\displaystyle EF$ y $\displaystyle DP \perp EF$ .

Hallar el valor máximo de \[ \left( x^3+1 \right) \left( y^3 + 1\right) , \] donde $x,y \in \mathbb R$ , $x+y=1$ .

Sean $a,b,c \in \left[ \frac 12, 1 \right]$ . Demostrar que \[ 2 \leq \frac{ a+b}{1+c} + \frac{ b+c}{1+a} + \frac{ c+a}{1+b} \leq 3 . \]

Sea $ABCDA_1B_1C_1D_1$ un cubo y $P$ un punto variable en el lado $[AB]$ . El plano perpendicular a $AB$ que pasa por $P$ interseca a la recta $AC'$ en $Q$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $A'P$ y $BQ$ respectivamente. a) Demostrar que las rectas $MN$ y $BC'$ son perpendiculares si y sólo si $P$ es el punto medio de $AB$ . b) Hallar el valor mínimo del ángulo entre las rectas $MN$ y $BC'$ .