Sea $VA_1A_2A_3A_4$ una pirámide con el vértice en $V$ . Sean $M,\, N,\, P$ los puntos medios de los segmentos $VA_1$ , $VA_3$ , y $A_2A_4$ . Demuestre que el plano $(MNP)$ corta la pirámide en dos partes con el mismo volumen.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $\angle BAC=60^\circ$ , $M$ un punto en su interior y $A',\, B',\, C'$ las proyecciones ortogonales de $M$ en los lados $BC,\, CA,\, AB$ . Determine el lugar geométrico de $M$ cuando la suma $A'B+B'C+C'A$ es constante.

Sea $f: [0,1]\to\mathbb{R}$ una función continua tal que \[ \int_{0}^{1}f(x)dx=0. \] Demostrar que existe $c\in (0,1)$ tal que \[ \int_{0}^{c}xf(x)dx=0. \]

Sea $\displaystyle G$ un grupo finito de $\displaystyle n$ elementos $\displaystyle ( n \geq 2 )$ y $\displaystyle p$ el factor primo más pequeño de $\displaystyle n$ . Si $\displaystyle G$ tiene sólo un subgrupo $\displaystyle H$ con $\displaystyle p$ elementos, entonces demostrar que $\displaystyle H$ está en el centro de $\displaystyle G$ . Nota. El centro de $\displaystyle G$ es el conjunto $\displaystyle Z(G) = \left\{ a \in G \left| ax=xa, \, \forall x \in G \right. \right\}$ .

Demostrar que \[ \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{\pi}{4} - n \int_0^1 \frac{x^n}{1+x^{2n}} \, dx \right) = \int_0^1 f(x) \, dx , \] donde $f(x) = \frac{\arctan x}{x}$ si $x \in \left( 0,1 \right]$ y $f(0)=1$ .

Sea $\displaystyle \mathcal K$ un campo finito. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) $\displaystyle 1+1=0$ ; (b) para todo $\displaystyle f \in \mathcal K \left[ X \right]$ con $\displaystyle \textrm{deg} \, f \geq 1$ , $\displaystyle f \left( X^2 \right)$ es reducible.

Sea $f: [0,\infty)\to\mathbb R$ una función tal que para cualquier $x>0$ la sucesión $\{f(nx)\}_{n\geq 0}$ es creciente. a) Si la función es también continua en $[0,1]$ ¿es cierto que $f$ es creciente? b) La misma pregunta si la función es continua en $\mathbb Q \cap [0, \infty)$ .

Tenemos en el plano el sistema de puntos $A_1,A_2,\ldots,A_n$ y $B_1,B_2,\ldots,B_n$ , que tienen diferentes centros de masa. Demostrar que existe un punto $P$ tal que \[ PA_1 + PA_2 + \ldots+ PA_n = PB_1 + PB_2 + \ldots + PB_n . \]

Definimos una pseudo-inversa $B\in \mathcal M_n(\mathbb C)$ de una matriz $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ una matriz que cumple las relaciones \[ A = ABA \quad \text{ y } \quad B=BAB. \] a) Demostrar que cualquier matriz cuadrada tiene al menos una pseudo-inversa. b) ¿Para qué matriz $A$ la pseudo-inversa es única?

Sea $A$ una matriz de $n\times n$ con elementos complejos y sea $A^\star$ la adjunta clásica de $A$ . Demostrar que si existe un entero positivo $m$ tal que $(A^\star)^m = 0_n$ entonces $(A^\star)^2 = 0_n$ .