3 Un prisma triangular regular tiene altura $h,$ y las dos bases del prisma son triángulos equiláteros de lado $a.$ Se hacen agujeros soñadores en los centros de ambas bases, y las tres caras laterales son espejos. Supón que un rayo de luz, que entra al prisma a través del agujero soñador en la base superior, y luego se refleja una vez en cualquiera de los tres espejos, sale del prisma por el agujero soñador en la base inferior. Encuentra el ángulo entre la base superior y el rayo de luz en el momento en que el rayo entró al prisma, y la longitud del camino del rayo de luz en el interior del prisma.

Dados 5 puntos en el plano, sin que tres de ellos sean colineales. Demuestra que entre estos 5 puntos siempre podemos encontrar 4 puntos que formen un cuadrilátero convexo.

5 Demuestra la desigualdad \[\tan \frac{\pi \sin x}{4\sin \alpha} + \tan \frac{\pi \cos x}{4\cos \alpha} >1\] para cualesquiera $x, \alpha$ con $0 \leq x \leq \frac{\pi }{2}$ y $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}.$ Amir

6 Sea $m$ un polígono convexo en un plano, $l$ su perímetro y $S$ su área. Sea $M\left( R\right) $ el lugar geométrico de todos los puntos del espacio cuya distancia a $m$ es $\leq R,$ y $V\left(R\right) $ es el volumen del sólido $M\left( R\right) .$ a.) Demuestra que \[V (R) = \frac 43 \pi R^3 +\frac{\pi}{2} lR^2 +2SR.\] Aquí, decimos que la distancia de un punto $C$ a una figura $m$ es $\leq R$ si existe un punto $D$ de la figura $m$ tal que la distancia $CD$ es $\leq R.$ (Este punto $D$ puede estar en la frontera de la figura $m$ y dentro de la figura.) pregunta adicional: b.) Encuentra el área de la $R$ - vecindad plana de un polígono convexo o no convexo $m.$ c.) Encuentra el volumen de la $R$ - vecindad de un poliedro convexo, por ejemplo de un cubo o de un tetraedro. Nota de Darij: supongo que la "$R$ - vecindad" de una figura se define como el lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a la figura es $\leq R.$

N6 Demuestre que existen infinitos enteros $n$ tales que tanto la media aritmética de sus divisores como la media geométrica de sus divisores son enteros. (Recuerde que para $k$ números reales positivos, $a_1, a_2, \dotsc, a_k$ , la media aritmética es $\frac{a_1 +a_2 +\dotsb +a_k}{k}$ , y la media geométrica es $\sqrt[k]{a_1 a_2\dotsb a_k}$ . )

N7 Halle todos los enteros no negativos $n$ para los cuales la ecuación \[ {\left( x^2 + y^2 \right)}^n = {(xy)}^{2018} \] admite soluciones enteras positivas.

Consideramos la división de un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ en $p$ rectángulos disjuntos que satisfacen las condiciones: a) cada rectángulo está formado por un número de casillas completas (no parciales) de las 64, y el número de casillas blancas es igual al número de casillas negras. b) los números $\ a_{1}, \ldots, a_{p}$ de casillas blancas de los $p$ rectángulos satisfacen $a_1, , \ldots, a_p.$ Encuentra el mayor valor de $p$ para el cual existe tal división y, para ese valor de $p$, todas las sucesiones $a_{1}, \ldots, a_{p}$ para las cuales podemos tener tal división. El moderador dice: ver https://artofproblemsolving.com/community/c6h58591 Amir

3 Dados dos paralelogramos $ABCD$ y $AECF$ con diagonal común $AC$ , donde $E$ y $F$ están en el interior del paralelogramo $ABCD$ . Demuestre: Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AEB$ , $BFC$ , $CED$ y $DFA$ tienen un punto en común.

8 Tenemos una bolsa de azúcar, una balanza de dos platillos y una pesa de $1$ gramo. ¿Cómo obtenemos $1$ kilogramo de azúcar en el menor número posible de pesadas? Amir

3 Kathy tiene $5$ tarjetas rojas y $5$ tarjetas verdes. Ella baraja las $10$ tarjetas y coloca $5$ de ellas en una fila en orden aleatorio. Ella estará feliz si y solo si todas las tarjetas rojas colocadas son adyacentes y todas las tarjetas verdes colocadas son adyacentes. Por ejemplo, los órdenes RRGGG, GGGGR o RRRRR harán feliz a Kathy, pero RRRGR no. La probabilidad de que Kathy esté feliz es $\tfrac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos relativamente primos. Encuentra $m + n$.