Considere el paralelogramo $ ABCD, $ cuyas diagonales se intersecan en $ O. $ La bisectriz del ángulo $ \angle DAC $ y la de $ \angle DBC $ se intersecan entre sí en $ T. $ Además, $ \overrightarrow{TD} +\overrightarrow{TC} =\overrightarrow{TO} . $ Encuentre los ángulos del triángulo $ ABT. $

Considere el paralelepípedo rectangular $ ABCDA'B'C'D' $ y el punto $ O $ como la intersección de $ AB' $ y $ A'B. $ En la arista $ BC, $ escoja un punto $ N $ tal que el plano formado por el triángulo $ B'AN $ tenga que ser paralelo a la línea $ AC', $ y perpendicular a $ DO'. $ Demuestre, entonces, que este paralelepípedo es un cubo.

Encuentre $ #\left\{ (x,y)\in\mathbb{N}^2\bigg| \frac{1}{\sqrt{x}} -\frac{1}{\sqrt{y}} =\frac{1}{2016}\right\} , $ donde $ # A $ es el cardinal de $ A . $

Para cada número real $ a, $ defina el conjunto $ A_a=\left\{ n\in\{ 0\}\cup\mathbb{N}\bigg|\sqrt{n^2+an}\in\{ 0\}\cup\mathbb{N}\right\} . $ a) Demuestre la equivalencia: $ # A_a\in\mathbb{N}\iff a\neq 0, $ donde $ # B $ es el cardinal de $ B. $ b) Determine $ \max A_{40} . $

Si $ a,b,c $ representan las longitudes de los lados de un triángulo, demuestre la desigualdad: $$ 3\le\sum_{\text{cyc}}\sqrt{\frac{a}{-a+b+c}} . $$

En el exterior del cuadrado $ ABCD $ se construye el triángulo isósceles $ ABE $ con $ \angle ABE=120^{\circ} . M $ es la intersección de la línea bisectriz del ángulo $ \angle EAB $ con su perpendicular que pasa por $ B; N $ es la intersección de $ AB $ con su perpendicular que pasa por $ M; P $ es la intersección de $ CN $ con $ MB. $ Si $ G $ es el centro de gravedad del triángulo $ ABE, $ demuestre que $ PG $ y $ AE $ son paralelas.

En el segmento $ AC $ del triángulo $ ABC, $ sea $ M $ el punto medio de él, y sea $ N $ un punto en $ AM, $ distinto de $ A $ y $ M. $ La paralela por $ N $ con respecto a $ AB $ interseca a $ BM $ en $ P, $ la paralela por $ M $ con respecto a $ BC $ interseca a $ BN $ en $ Q, $ y la paralela por $ N $ con respecto a $ AQ $ interseca a $ BC $ en $ S. $ Demuestre que $ PS $ y $ AC $ son paralelas.

a) Demuestre que si dos enteros no negativos $ p,q $ satisfacen la propiedad de que tanto $ \sqrt{2p-q} $ como $ \sqrt{2p+q} $ son enteros no negativos, entonces $ q $ es par. b) Determine cuántos números naturales $ m $ hay tales que $ \sqrt{2m-4030} $ y $ \sqrt{2m+4030} $ son ambos naturales.

a) Demuestre que el número $ \sqrt{9-\sqrt{77}}\cdot\sqrt {2}\cdot\left(\sqrt{11}-\sqrt{7}\right)\cdot\left( 9+\sqrt{77}\right) $ es natural. b) Considere dos números reales $ x,y $ tales que $ xy=6 $ y $ x,y>2. $ Demuestre que $ x+y<5. $

Determine todos los pares de números naturales, cuyos componentes tienen el mismo número de dígitos y el doble de su producto es igual al número formado concatenándolos.