Encuentre todos los números naturales $ k\ge 1 $ y $ n\ge 2, $ que tienen la propiedad de que existen dos matrices $ A,B\in M_n\left(\mathbb{Z}\right) $ tales que $ A^3=O_n $ y $ A^kB +BA=I_n. $

Sean dos matrices $ A,B\in M_2\left(\mathbb{R}\right) $ que satisfacen la igualdad $ \left( A-B\right)^2 =O_2. $ a) Demuestre que $ \det\left( A^2-B^2\right) =\left( \det A -\det B\right)^2. $ b) Demuestre que $ \det\left( AB-BA\right) =0\iff \det A=\det B. $

Sea $ f:[0,1]\longrightarrow [0,1] $ una función con la propiedad de que, para todo $ y\in [0,1] $ y $ \varepsilon >0, $ existe un $ x\in [0,1] $ tal que $ |f(x)-y|<\varepsilon . $ a) Demuestre que si $ \left. f\right|_{[0,1]} $ es continua, entonces $ f $ es sobreyectiva. b) Dé un ejemplo de una función con la propiedad dada, pero que no es sobreyectiva.

Sea $ f: (0,\infty)\longrightarrow (0,\infty) $ una función no constante que tiene la propiedad de que $ f\left( x^y\right) = \left( f(x)\right)^{f(y)},\quad\forall x,y>0. $ Demuestre que $ f(xy)=f(x)f(y) $ y $ f(x+y)=f(x)+f(y), $ para todos $ x,y>0. $

Resuelva en $ \mathbb{C} $ la siguiente ecuación: $ |z|+|z-5i|=|z-2i|+|z-3i|. $

Resuelva en $ \mathbb{Z} $ el siguiente sistema de ecuaciones: $$ \left\{\begin{matrix} 5^x-\log_2 (y+3) = 3^y\\ 5^y -\log_2 (x+3)=3^x\end{matrix}\right. . $$

Para cualquier $ n\ge 2 $ natural, demuestre que se cumple la siguiente desigualdad: $$ \sum_{i=2}^n\frac{1}{\sqrt[i]{(2i)!}}\ge\frac{n-1}{2n+2} . $$

Encuentre las funciones $ f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} $ que satisfacen la siguiente relación: $$ \gcd\left( x,f(y)\right)\cdot\text{lcm}\left(f(x), y\right) = \gcd (x,y)\cdot\text{lcm}\left( f(x), f(y)\right) ,\quad\forall x,y\in\mathbb{N} . $$

Sean $ m, n $ números naturales con $ m\ge 2,n\ge 3. $ Demuestre que existen $ m $ múltiplos distintos de $ n-1, $ a saber, $ a_1,a_2,a_3,...,a_m, $ tales que: $$ \frac{1}{n} =\sum_{i=1}^m \frac{(-1)^{i-1}}{a_i} . $$

Determine los números reales $ a,b, $ tales que $$ [ax+by]+[bx+ay]=(a+b)\cdot [x+y],\quad\forall x,y\in\mathbb{R} , $$ donde $ [t] $ es el mayor entero menor que $ t. $