Determine los cuadrados perfectos $ \overline{aabcd} $ de cinco dígitos tales que $ \overline{dcbaa} $ es un cuadrado perfecto de cinco dígitos.

Sea $ ABC $ un triángulo obtuso con $ AB=AC, M $ el punto simétrico de $ A $ con respecto a $ C, $ y $ P $ la intersección de la línea $ AB $ con la bisectriz perpendicular del segmento $ \overline{AB} . $ Sabiendo que $ PM $ es perpendicular a $ BC, $ demuestre que $ APM $ es equilátero.

En una pizarra están escritos los números $ 11 $ y $ 13. $ Un paso significa sumar dos números escritos y escribirlo. Demuestre que: a) después de cualquier número de pasos, el número $ 86 $ no se escribirá. b) después de algún número de pasos, el número $ 2015 $ puede ser escrito.

a) Demuestre que los tres últimos dígitos de $ 1038^2 $ son iguales a $ 4. $ b) Demuestre que hay infinitos cuadrados perfectos cuyos tres últimos dígitos son iguales a $ 4. $ c) Demuestre que no hay ningún cuadrado perfecto cuyos cuatro últimos dígitos sean iguales a $ 4. $

Considere la siguiente secuencia de conjuntos: $ \{ 1,2\} ,\{ 3,4,5\}, \{ 6,7,8,9\} ,... $ a) Encuentre el elemento más pequeño del término $ 100\text{-ésimo} $. b) ¿Es $ 2015 $ el elemento más grande de uno de estos conjuntos?

En un concurso de matemáticas hubo $ 50 $ participantes, a los que se les dieron $ 3 $ problemas para resolver. Los resultados han demostrado que cada candidato ha resuelto correctamente al menos un problema, y que un total de $ 100 $ problemas han sido evaluados por el jurado como correctos. Demuestre que hubo, como máximo, $ 25 $ ganadores que obtuvieron la máxima puntuación.

Determine todos los números naturales $ \overline{ab} $ con $ a<b $ que son iguales a la suma de todos los números naturales entre $ a $ y $ b, $ inclusive.

Considere dos conjuntos finitos disjuntos de enteros positivos, $A$ y $B$ , que tienen $n$ y $m$ elementos, respectivamente. Se sabe que todo $k$ que pertenece a $A \cup B$ satisface al menos una de las condiciones $k + 17 \in A$ y $k - 31 \in B$ . Demuestre que $17n = 31m$ .

Sea $ABC$ un triángulo en el que $AB < AC, D$ es el pie de la altura desde $A, H$ es el ortocentro, $O$ es el circuncentro, $M$ es el punto medio del lado $BC, A'$ es la reflexión de $A$ a través de $O$ , y $S$ es la intersección de las tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita. La tangente en $A'$ a la circunferencia circunscrita interseca a $SC$ y $SB$ en $X$ e $Y$ , respectivamente. Si $M,S,X,Y$ son concíclicos, demuestre que las líneas $OD$ y $SA'$ son paralelas.

Determine todos los enteros positivos $n$ tales que $4k^2 +n$ es un número primo para todo entero no negativo $k$ menor que $n$ .