Primero que nada, estoy bastante seguro de que $a_{n+1}$ se supone que es $\frac{a_n}2$ cuando $a_n$ es par, no $n$ (y $a_n+7$ cuando $a_n$ es impar). Segundo, creo que $a_1=1993^{1994^{1995}}$ , es decir, el número superior es $1995$ , no $1994$ . Cada número $>7$ se convierte en uno $<7$ en como máximo $2$ pasos, por lo que el mínimo es $\le 7$ . Dado que nuestro término inicial no es divisible por $7$ y está claro que las reglas no pueden producir términos divisibles por $7$ cuando no los hay, significa que el mínimo es $\le 6$ . $6,5,3$ van a $3$ , mientras que $4,2,1$ van a $1$ , por lo que hay dos posibilidades: el mínimo es $3$ o $1$ . $2$ es un residuo cuadrático módulo $7$ , por lo que todos los términos de la secuencia son residuos cuadráticos de $7$ , o ninguno lo es. Dado que el término inicial es $4\pmod 7$ , significa que todos los términos son residuos cuadráticos de $7$ , por lo que el mínimo no puede ser $3$ , lo que significa que debe ser $1$ .

Sea $K$ un campo finito con $q$ elementos, $q \ge 3.$ Denotamos por $M$ el conjunto de polinomios en $K[X]$ de grado $q-2$ cuyos coeficientes son no nulos y distintos por pares. Encuentra el número de polinomios en $M$ que tienen $q-2$ raíces distintas en $K.$

Sea un número real $a,$ y una función no decreciente $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}.$ Prueba que $f$ es continua en $a$ si y sólo si existe una secuencia $ \left( a_n \right)_{n\ge 1} $ de números reales positivos tal que $$ \int_a^{a+a_n} f(x)dx+\int_a^{a-a_n} f(x)dx\le\frac{a_n}{n} , $$ para todos los números naturales $n.$

Sea $A$ un anillo y sea $D$ el conjunto de sus elementos no invertibles. Si $a^2=0$ para cualquier $a \in D,$ prueba que: a) $axa=0$ para todo $a \in D$ y $x \in A$ ; b) si $D$ es un conjunto finito con al menos dos elementos, entonces existe $a \in D,$ $a \neq 0,$ tal que $ab=ba=0,$ para todo $b \in D.$

Prueba que existe una única secuencia $ \left( c_n \right)_{n\ge 1} $ de números reales del intervalo $ (0,1) $ tal que $$ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^m} =\frac{1}{1+c_m^m } , $$ para todos los números naturales $ m, $ y calcula $ \lim_{k\to\infty } kc_k^k.$

Encuentra todas las funciones, $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} ,$ que tienen las propiedades de que $f^2$ es diferenciable y $f=\left( f^2 \right)' .$

Sea un número real $a,$ y una función $f:\mathbb{R}_{>0 }\longrightarrow\mathbb{R}_{>0 }.$ Demuestra que las siguientes relaciones son equivalentes. $ \text{(i)}\quad\varepsilon\in\mathbb{R}_{>0 } \implies\left( \lim_{x\to\infty } \frac{f(x)}{x^{a+\varepsilon }} =0\wedge \lim_{x\to\infty } \frac{f(x)}{x^{a-\varepsilon }} =\infty \right) $ $ \text{(ii)}\quad\lim_{x\to\infty } \frac{\ln f(x)}{\ln x } =a $

Considera un número natural, $n\ge 2,$ y tres matrices complejas $n\times n$ $A,B,C$ tales que $A$ es invertible, $B$ se forma reemplazando la primera línea de $A$ con ceros, y $C$ se forma poniendo las últimas $n-1$ líneas de $A$ por encima de una línea de ceros. Prueba que: a) $ \text{rango} \left( A^{-1} B \right) = \text{rango} \left( \left( A^{-1} B\right)^2 \right) =\cdots =\text{rango} \left( \left( A^{-1} B\right)^n \right) $ b) $ \text{rango} \left( A^{-1} C \right) > \text{rango} \left( \left( A^{-1} C\right)^2 \right) >\cdots >\text{rango} \left( \left( A^{-1} C\right)^n \right) $

Sea una matriz real $2\times 2$ $A$ que tiene la propiedad de que $ \left| A^d-I_2 \right| =\left| A^d+I_2 \right| , $ para todo $ d\in\{ 2014,2016 \} .$ Prueba que $ \left| A^n-I_2 \right| =\left| A^n+I_2 \right| , $ para cualquier número natural $ n.$

Para estudiar una cierta lengua antigua, algunos investigadores formatearon sus palabras descubiertas en expresiones formadas concatenando letras de un alfabeto que contiene sólo dos letras. A lo largo del estudio, notaron que dos palabras distintas cuyas expresiones formateadas tienen un número igual de letras, mayor que $2,$ difieren en al menos tres letras. Prueba que si su observación se cumple en efecto, entonces el número de expresiones formateadas que tienen $n\ge 3$ letras es a lo sumo $ \left[ \frac{2^n}{n+1} \right] .$