a) Sean dos números complejos distintos de cero $a,b.$ Demuestra que el área del triángulo formado por las representaciones de los afijos $0,a,b$ en el plano complejo es $\frac{1}{4}\left| \overline{a} b-a\overline{b} \right|.$ b) Sea un triángulo equilátero $ABC,$ su circunferencia circunscrita $\mathcal{C} ,$ su circuncentro $O,$ y dos puntos distintos $P_1,P_2$ en el interior de $\mathcal{C} .$ Prueba que podemos formar dos triángulos con lados $P_1A,P_1B,P_1C,$ respectivamente, $P_2A,P_2B,P_2C,$ cuyas áreas son iguales si y sólo si $OP_1=OP_2.$

Sea una función $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ que satisface las condiciones: $$ \left\{\begin{matrix} f(x+y) &\le & f(x)+f(y) \\ f(tx+(1-t)y) &\le & t(f(x)) +(1-t)f(y) \end{matrix}\right. , $$ para todos los números reales $ x,y,t $ con $ t\in [0,1] . $ Prueba que: a) $ f(b)+f(c)\le f(a)+f(d) , $ para cualquier número real $ a,b,c,d $ tal que $ a\le b\le c\le d $ y $ d-c=b-a. $ b) para cualquier número natural $ n\ge 3 $ y cualquier $ n $ números reales $ x_1,x_2,\ldots ,x_n, $ se cumple la siguiente desigualdad. $$ f\left( \sum_{1\le i\le n} x_i \right) +(n-2)\sum_{1\le i\le n} f\left( x_i \right)\ge \sum_{1\le i<j\le n} f\left( x_i+x_j \right) $$

Sea un número natural $n\ge 2$ y $n$ números reales positivos $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ cuyo producto es $1.$ Prueba que la función $ f:\mathbb{R}_{>0}\longrightarrow\mathbb{R} ,\quad f(x)=\prod_{i=1}^n \left( 1+a_i^x \right) , $ es no decreciente.

Determina todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ que satisfacen la desigualdad $$f(a^2) - f(b^2) \leq \left( f(a) + b\right)\left( a - f(b)\right),$$ para todo $a,b \in \mathbb R$ .

Decimos que un número racional es esférico si es la suma de tres cuadrados de números racionales (no necesariamente distintos). Prueba que: a) $7$ no es esférico. b) un número racional esférico elevado a la potencia de cualquier número natural mayor que $1$ es esférico.

Sea un número natural $n\ge 2$ y $n$ números reales positivos $a_1,a_n,\ldots ,a_n$ que satisfacen las desigualdades $$ \sum_{j=1}^i a_j\le a_{i+1} ,\quad \forall i\in\{ 1,2,\ldots ,n-1 \} . $$ Prueba que $$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{a_k}{a_{k+1}}\le n/2 . $$

El ortocentro $H$ de un triángulo $ABC$ es distinto de sus vértices y su circuncentro $O.$ $M,N,P$ son los circuncentros de los triángulos $HBC,HCA,$ respectivamente, $HAB.$ Prueba que $AM,BN,CP$ y $OH$ son concurrentes.

Para $n \in N^*$ diremos que los enteros no negativos $x_1, x_2, ... , x_n$ tienen la propiedad $(P)$ si $$x_1x_2 ...x_n = x_1 + 2x_2 + 3x_3 + ...+ nx_n.$$ a) Demuestra que para cada $n \in N^*$ existen $n$ enteros positivos con la propiedad $(P)$ . b) Encuentra todos los enteros $n \ge 2$ tales que existen $n$ enteros positivos $x_1, x_2, ... , x_n$ con $x_1< x_2<x_3< ... <x_n$ , teniendo la propiedad $(P)$ .

Si $a, b$ y $c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, demuestra que $$\frac32 \le \frac{b + c}{b + c + 2a}+\frac{a + c}{a + c + 2b}+\frac{a + b}{a + b + 2c}\le \frac53.$$

En un cubo $ABCDA'B'C'D' $ se consideran dos puntos, $M \in (CD')$ y $N \in (DA')$ . Demuestra que $MN$ es perpendicular común a las líneas $CD'$ y $DA'$ si y sólo si $$\frac{D'M}{D'C}=\frac{DN}{DA'} =\frac{1}{3}.$$