Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB < AC$ . Sea $\Omega $ la circunferencia circunscrita de $ ABC$ y $M$ sea el centroide del triángulo $ABC$ . $AH$ es la altura de $ABC$ . $MH$ se intersecta con $\Omega $ en $A'$ . Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $A'HB$ es tangente a $AB$ .

Sea $k > 2$ un número real. a) Demuestra que para todos los números reales positivos $x,y$ y $z$ se cumple la siguiente desigualdad: $$\sqrt{x + y }+\sqrt{y + z }+\sqrt{z + x} > 2\sqrt{\frac{(x + y)(y + z)(z + x)}{xy + yz + zx}}$$ b) Demuestra que existen números reales positivos $x, y$ y $z$ tales que $$\sqrt{x + y }+\sqrt{y + z}+\sqrt{z + x} <k\sqrt{\frac{(x + y)(y + z)(z + x)}{xy + yz + zx}}$$

Sea $ p$ un número primo con $ p>5$ . Considera el conjunto $ X = \left\{p - n^2 \mid n\in \mathbb{N} ,\ n^2 < p\right\}$ . Demuestra que el conjunto $ X$ tiene dos elementos distintos $ x$ e $ y$ tales que $ x\neq 1$ y $ x\mid y$ .

Sea $ABC$ un triángulo, y sean $E$ y $F$ dos puntos arbitrarios en los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $AEF$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ de nuevo en el punto $M$ . Sea $D$ la reflexión del punto $M$ en la línea $EF$ y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ . Demuestra que $D$ está en $BC$ si y sólo si $O$ pertenece a la circunferencia circunscrita del triángulo $AEF$ .

Alina y Bogdan juegan el siguiente juego. Tienen un montón y $330$ piedras en él. Se turnan. En un turno, se permite tomar del montón exactamente $1$ , exactamente $n$ o exactamente $m$ piedras. El jugador que toma la última piedra gana. Antes del comienzo, Alina dice el número $n$ , ( $1 < n < 10$ ) . Después de eso, Bogdan dice el número $m$ , ( $m \ne n, 1 < m < 10$ ) . Alina va primero. ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora? ¿Qué pasa si inicialmente hay 2018 piedras en el montón?

Si $a, b, c$ son números reales positivos, demuestra que $$\frac{a}{\sqrt{(a + 2b)^3}}+\frac{b}{\sqrt{(b + 2c)^3}} +\frac{c} {\sqrt{(c + 2a)^3}} \ge \frac{1}{\sqrt{a + b + c}}$$

Demuestra que un entero positivo $A$ es un cuadrado perfecto si y sólo si, para todos los enteros positivos $n$ , al menos uno de los números $(A + 1)^2 - A, (A + 2)^2 - A, (A + 3)^2 - A,.., (A + n)^2- A$ es un múltiplo de $n$ .

Considera $n$ pesas, $n \ge 2$ , de masas $m_1, m_2, ..., m_n$ , donde $m_k$ son enteros positivos tales que $1 \le m_ k \le k$ para todo $k \in \{1,2,...,n\} $ : Demuestra que podemos colocar las pesas en los dos platillos de una balanza de tal manera que los platillos permanezcan en equilibrio si y sólo si el número $m_1 + m_2 + ...+ m_n$ es par.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. La línea paralela a $BD$ que pasa por $A$ se encuentra con la línea paralela a $AC$ que pasa por $B$ en $E$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $ABE$ se encuentra con las líneas $EC$ y $ED$ , de nuevo, en $F$ y $G$ , respectivamente. Demuestra que las líneas $AB, CD$ y $FG$ son paralelas o concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con $AB \ne AC$ . Sea $D$ el punto medio del segmento de línea $BC$ , y sean $E$ y $F$ las proyecciones de $D$ sobre los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. Si $M$ es el punto medio del segmento de línea $EF$ , y $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ , demuestra que las líneas $DM$ y $AO$ son paralelas.