Sea $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$ y los números reales positivos $a_1,a_2,…,a_n$ y $b_1,b_2,…,b_n$ tales que $a_1+a_2+…+a_n=b_1+b_2+…+b_n=S.$ $\textbf{a)}$ Demuestra que $\sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k^2}{a_k+b_k} \ge \frac{S}{2}.$ $\textbf{b)}$ Demuestra que $\sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k^2}{a_k+b_k}= \sum\limits_{k=1}^n \frac{b_k^2}{a_k+b_k}.$

Resuelve la ecuación en el conjunto de los números reales: $$\left[ x+\frac{1}{x} \right] = \left[ x^2+\frac{1}{x^2} \right]$$ donde $[a]$ , representa la parte entera del número real $a$ .

Considera el paralelepípedo rectangular $ABCDA'B'C'D' $ tal que la medida del ángulo diedro formado por los planos $(A'BD)$ y $(C'BD)$ es $90^o$ y la medida del ángulo diedro formado por los planos $(AB'C)$ y $(D'B'C)$ es $60^o$ . Determina y mide el ángulo diedro formado por los planos $(BC'D)$ y $(A'C'D)$ .

Sea $ABCDA'B'C'D'$ un paralelepípedo rectangular y $M,N, P$ proyecciones de los puntos $A, C$ y $B'$ respectivamente sobre la diagonal $BD'$ . a) Demuestra que $BM + BN + BP = BD'$ . b) Demuestra que $3 (AM^2 + B'P^2 + CN^2)\ge 2D'B^2$ si y sólo si $ABCDA'B'C'D'$ es un cubo.

Determinar los números $x,y$ , con $x$ entero y $y$ racional, para los cuales se cumple la igualdad: $$5(x^2+xy+y^2) = 7(x+2y)$$

Considera el triángulo rectángulo isósceles $ ABC, \angle A = 90^o$ , y el punto $D \in (AB)$ tal que $AD = \frac13 AB$ . En el semiplano determinado por la línea $AB$ y el punto $C$ , considera un punto $E$ tal que $\angle BDE = 60^o$ y $\angle DBE = 75^o$ . Las líneas $BC$ y $DE$ se intersecan en el punto $G$ , y la línea que pasa por el punto $G$ paralela a la línea $AC$ interseca la línea $BE$ en el punto $H$ . Demuestra que el triángulo $CEH$ es equilátero.

Considera los conjuntos $M = \{0,1,2,, 2019\}$ y $$A=\left\{ x\in M\,\, | \frac{x^3-x}{24} \in N\right\} $$ a) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto $A$? b) Determina el número natural más pequeño $n$ , $n \ge 2$ , que tiene la propiedad de que cualquier subconjunto de $n$ elementos del conjunto $A$ c contiene dos elementos distintos cuya diferencia es divisible por $40$ .

Considera $D$ el punto medio de la base $[BC]$ del triángulo isósceles ABC en el que $\angle BAC < 90^o$ . En la perpendicular de $B$ a la línea $BC$ considera el punto $E$ tal que $\angle EAB= \angle BAC$ , y en la línea que pasa por $C$ paralela a la línea $AB$ consideramos el punto $F$ tal que $F$ y $D$ están en diferentes lados de la línea $AC$ y $\angle FAC = \angle CAD$ . Demuestra que $AE = CF$ y $BF = EF$

Determinar los enteros $a, b, c$ para los cuales $$\frac{a+1}{3}=\frac{b+2}{4}=\frac{5}{c+3}$$

En $n$ cajas transparentes hay bolas rojas y bolas azules. Uno necesita elegir $50$ cajas tales que, juntas, contengan al menos la mitad de las bolas rojas y al menos la mitad de las bolas azules. ¿Es posible tal elección independientemente del número de bolas y de la forma en que se distribuyen en las cajas, si: a) $n = 100$ b) $n = 99$ ?