Sea $ABC$ un triángulo, y $D$ el punto medio del lado $BC$. En los lados $AB$ y $AC$ consideramos los puntos $M$ y $N$, respectivamente, ambos diferentes de los puntos medios de los lados, tales que \[ AM^2+AN^2 =BM^2 + CN^2 \textrm{ y } \angle MDN = \angle BAC.\] Demuestra que $ \angle BAC = 90^\circ$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Consideramos el triángulo equilátero $A'UV$, donde $A' \in (BC)$, $U\in (AC)$ y $V\in(AB)$ tal que $UV \parallel BC$. Definimos los puntos $B',C'$ de la misma manera. Demuestra que $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes.

Demuestra que para cada $n \in \mathbb{N}^*$ existe un múltiplo de $n$, cuya suma de dígitos es igual a $n$.

Sea $p$ un número primo, $p \not = 3$, y enteros $a,b$ tales que $p\mid a+b$ y $p^2\mid a^3 + b^3$. Demuestra que $p^2\mid a + b$ o $p^3\mid a^3 + b^3$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Suponga que se construyen triángulos isósceles similares $APB, BQC, CRD, DSA$ con las bases en los lados de $ABCD$ en el exterior del cuadrilátero de tal manera que $PQRS$ es un rectángulo pero no un cuadrado. Demuestre que $ABCD$ es un rombo.

Las alturas de un triángulo tienen longitud entera y su inradio es un número primo. Encuentre todos los valores posibles de los lados del triángulo.

Para cada entero positivo $ n$ , defina $ f(n)=lcm(1,2,...,n)$ . (a) Demuestre que para cada $ k$ existen $ k$ enteros positivos consecutivos en los que $ f$ es constante. (b) Encuentre la cardinalidad máxima posible de un conjunto de enteros positivos consecutivos en los que $ f$ está estrictamente aumentando y encuentre todos los conjuntos para los que se alcanza este máximo.

¿Cuántas coloraciones de un $n$ -ágono en $p \ge 2$ colores hay tales que no hay dos vértices vecinos que tengan el mismo color?

Encuentre una secuencia de enteros positivos $f(n)$ ( $n \in \mathbb{N}$ ) tal que: (i) $f(n) \leq n^8$ para cualquier $n \geq 2$ ; (ii) para cualquier $a_1, \cdots, a_k, n$ distintos, $f(n) \neq f(a_1) + \cdots+ f(a_k)$ .

Sea $f$ un polinomio mónico irreducible (en $Z[x]$ ) con coeficientes enteros y de grado impar mayor que $1$ . Suponga que los módulos de las raíces de $f$ son mayores que $1$ y que $f(0)$ es un número libre de cuadrados. Demuestre que el polinomio $g(x) = f(x^3)$ también es irreducible