Un cubo se divide en un número finito de paralelepípedos rectangulares con los bordes paralelos a los bordes del cubo. Demuestre que si la suma de los volúmenes de las circunscritas de estos paralelepípedos es igual al volumen de la esfera circunscrita del cubo, entonces todos los paralelepípedos son cubos.

Sean $a_1, a_2,...., a_n$ enteros positivos distintos. Demuestre que $(a_1^5 + ...+ a_n^5) + (a_1^7 + ...+ a_n^7) \ge 2(a_1^3 + ...+ a_n^3)^2$ y encuentre los casos de igualdad.

Un conjunto convexo $S$ en un plano, que no se encuentra en una línea, está pintado en $p$ colores. Demuestre que para cada $n \ge 3$ existen infinitos $n$ -ágonos congruentes cuyos vértices son del mismo color.

Sean $M, N, P, Q$ puntos en los lados $AB, BC, CD, DA$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$ tales que $AQ = DP = CN = BM$ . Demuestre que si $MNPQ$ es un cuadrado, entonces $ABCD$ también es un cuadrado.

Suponga que $n$ polígonos de área $s = (n - 1)^2$ se colocan en un polígono de área $S = \frac{n(n - 1)^2}{2}$ . Demuestre que existen dos de los $n$ polígonos más pequeños cuya intersección tiene un área de al menos $1$ .

La secuencia $ (x_n)$ se define por $ x_1=1,x_2=a$ y $ x_n=(2n+1)x_{n-1}-(n^2-1)x_{n-2}$ $ \forall n \geq 3$ , donde $ a \in N^*$ . ¿Para qué valor de $a$ la secuencia tiene la propiedad de que $ x_i|x_j$ siempre que $ i<j$ ?

Sea $a$ un número real, $a>1.$ Encuentra los números reales $b \ge 1$ tales que $$\lim_{x \to \infty} \int\limits_0^x (1+t^a)^{-b} \mathrm{d}t=1.$$

Sea $G$ un grupo finito y sean $x_1,…,x_n$ una enumeración de sus elementos. Consideramos la matriz $(a_{ij})_{1 \le i,j \le n},$ donde $a_{ij}=0$ si $x_ix_j^{-1}=x_jx_i^{-1},$ y $a_{ij}=1$ en caso contrario. Encuentra la paridad del entero $\det(a_{ij}).$

Sea $n$ un entero positivo y $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ una función integrable. Demuestra que existe un punto $c \in \left[0,1- \frac{1}{n} \right],$ tal que $ \int\limits_c^{c+\frac{1}{n}}f(x)\mathrm{d}x=0$ o $\int\limits_0^c f(x) \mathrm{d}x=\int\limits_{c+\frac{1}{n}}^1f(x)\mathrm{d}x.$

Sea $n$ un entero positivo y $G$ un grupo finito de orden $n.$ Una función $f:G \to G$ tiene la propiedad $(P)$ si $f(xyz)=f(x)f(y)f(z)~\forall~x,y,z \in G.$ $\textbf{(a)}$ Si $n$ es impar, demuestra que toda función que tenga la propiedad $(P)$ es un endomorfismo. $\textbf{(b)}$ Si $n$ es par, ¿es la conclusión de $\textbf{(a)}$ todavía cierta?