En un plano se dan $5$ puntos tales que todos los triángulos que tienen vértices en estos puntos son de área no mayor que $1$ . Demuestre que existe un trapecio que contiene todos los puntos en el interior (o en los lados) y que tiene un área que no excede $3$ .

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $C$ y los puntos $D, E$ en los lados $BC$ y $CA$ respectivamente, tal que $\frac{BD}{AC} =\frac{AE}{CD} = k$ . Las líneas $BE$ y $AD$ se intersecan en $O$ . Demuestre que el ángulo $\angle BOD = 60^o$ si y solo si $k =\sqrt3$ .

Sea $ f: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ una función derivable tal que $ f(0)=f(1)$ , $ \int_0^1f(x)dx=0$ y $ f^{\prime}(x) \neq 1\ ,\ (\forall)x\in [0,1]$ . i) Probar que la función $ g: [0,1]\rightarrow \mathbb{R}\ ,\ g(x)=f(x)-x$ es estrictamente decreciente. ii) Probar que para cada número entero $ n\ge 1$ , tenemos: $ \left|\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\right|<\frac{1}{2}$

Sean $ a < c < b$ tres números reales y sea $ f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ una función continua en $ c$ . Si $ f$ tiene primitivas en cada uno de los intervalos $ [a,c)$ y $ (c,b]$ , entonces probar que tiene primitivas en el intervalo $ [a,b]$ .

Sea $ G$ un grupo tal que si $ a,b\in \mathbb{G}$ y $ a^2b=ba^2$ , entonces $ ab=ba$ . i) Si $ G$ tiene $ 2^n$ elementos, probar que $ G$ es abeliano. ii) Dar un ejemplo de un grupo no abeliano con la propiedad de $ G$ del enunciado.

Sea $ S$ la suma de los elementos inversibles de un anillo finito. Probar que $ S^2=S$ o $ S^2=0$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico . $E$ es el punto medio de $(AC)$ y $F$ es el punto medio de $(BD)$ \{ $G$ \} = $AB\cap CD$ y \{ $H$ \} = $AD\cap BC$ . a)Demuestra que las intersecciones de la bisectriz del ángulo $\angle{AHB}$ y los lados $AB$ y $CD$ y las intersecciones de la bisectriz del ángulo o f $\angle{AGD}$ con $BC$ y $AD$ son los vértices de un rombo b)Demuestra que el centro de este rombo se encuentra en $EF$

Sean a,b,c números reales tales que : $a\ge b\ge 1\ge c\ge 0$ y a+b+c=3. a)Demuestra que $2\le ab +bc+ca\le 3$ b)Demuestra que $\dfrac{24}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{25}{ab+bc+ca}\ge 14$ . Encuentra los casos de igualdad

Dados tres colores y un rectángulo de m × n dados unidad, queremos colorear cada segmento que constituye un lado de una unidad cuadrada con uno de tres colores para que cada unidad cuadrada tenga dos lados de un color y dos lados de otro color. ¿Cuántas coloraciones tenemos?

Las alturas $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ del $\triangle{ABC}$ se intersecan en $H$ . $O$ es el circuncentro del $\triangle{ABC}$ . Sea $A_2$ la reflexión de $A$ con respecto a $B_1C_1$ . Demuestra que: a ) $O$ , $A_2$ , $B_1$ , $C$ están todos en una circunferencia b ) $O$ , $H$ , $A_1$ , $A_2$ están todos en una circunferencia