Sea $ n\geq 3 $ un entero y sea $ \mathcal{S} \subset \{1,2,\ldots, n^3\} $ un conjunto con $ 3n^2 $ elementos. Demuestra que existen nueve números distintos $ a_1,a_2,\ldots,a_9 \in \mathcal{S} $ tal que el siguiente sistema tiene una solución en enteros no nulos: \n\begin{eqnarray*} a_1x + a_2y +a_3 z &=& 0 \\ a_4x + a_5 y + a_6 z &=& 0 \\ a_7x + a_8y + a_9z &=& 0.\n\end{eqnarray*}

Sea $ S $ un conjunto de $ n $ círculos concéntricos en el plano. Demuestra que si una función $ f: S\to S $ satisface la propiedad \n\[ d( f(A),f(B)) \geq d(A,B) \]\npara todos $ A,B \in S $ , entonces $ d(f(A),f(B)) = d(A,B) $ , donde $ d $ es la función de distancia euclidiana.

Sean $ x,y,z $ números reales. Demuestra que las siguientes condiciones son equivalentes: (i) $ x,y,z $ son números positivos y $ \dfrac 1x + \dfrac 1y + \dfrac 1z \leq 1 $ ; (ii) $ a^2x+b^2y+c^2z>d^2 $ se cumple para cada cuadrilátero con lados $ a,b,c,d $ .

Sean $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ números reales positivos y $ x_{n+1} = x_1 + x_2 + \cdots + x_n $ . Demuestra que \n\[ \sum_{k=1}^n \sqrt { x_k (x_{n+1} - x_k)} \leq \sqrt { \sum_{k=1}^n x_{n+1}(x_{n+1}-x_k)}.\n\]

Sea $ n\geq 3 $ un entero y sea $ p\geq 2n-3 $ un número primo. Para un conjunto $ M $ de $ n $ puntos en el plano, no 3 colineales, sea $ f: M\to \{0,1,\ldots, p-1\} $ una función tal que (i) exactamente un punto de $ M $ se mapea a 0, (ii) si un círculo $ \mathcal{C} $ pasa a través de 3 puntos distintos de $ A,B,C\in M $ entonces $ \sum_{P\in M\cap \mathcal{C}} f(P) \equiv 0 \pmod p $ . Demuestra que todos los puntos en $ M $ se encuentran en un círculo.

Encuentra todos los primos $ p,q $ tales que $ \alpha^{3pq} -\alpha \equiv 0 \pmod {3pq} $ para todos los enteros $ \alpha $ .

Sean $ n $ y $ r $ enteros positivos y $ A $ un conjunto de puntos de celosía en el plano tal que cualquier disco abierto de radio $ r $ contiene un punto de $ A $ . Muestra que para cualquier coloración de los puntos de $ A $ en $ n $ colores existen cuatro puntos del mismo color que son los vértices de un rectángulo.

Sea $ n\geq 3 $ un entero y sean $ x_1,x_2,\ldots,x_{n-1} $ enteros no negativos tales que \n\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} &=& n \\ x_1 + 2x_2 + \cdots + (n-1)x_{n-1} &=& 2n-2.\n\end{eqnarray*}\nEncuentra el valor mínimo de $ F(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \sum_{k=1}^{n-1} k(2n-k)x_k $ .

Sean $ p_1,p_2,\ldots,p_k $ los divisores primos distintos de $ n $ y sea $ a_n=\frac {1}{p_1}+\frac {1}{p_2}+\cdots+\frac {1}{p_k} $ para $ n\geq 2 $ . Muestra que para cada entero positivo $ N\geq 2 $ la siguiente desigualdad se cumple: $ \sum_{k=2}^{N} a_2a_3 \cdots a_k <1 $

Sea $ a\in \mathbb{R} $ y $ f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ son las funciones aditivas tales que para cada $ x\in \mathbb{R} $ tenemos $ f_1(x)f_2(x) \cdots f_n(x) =ax^n $ . Muestra que existe $ b\in \mathbb {R} $ e $ i\in {\{1,2,\ldots,n\}} $ tal que para cada $ x\in \mathbb{R} $ tenemos $ f_i(x)=bx $ .