Sean $a$ y $n$ dos enteros mayores que $1$ . Pruebe que si $n$ divide a $(a-1)^k$ para algún entero $k\geq 2$ , entonces $n$ también divide a $a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1$ .

Dados dos dominios poligonales (idénticos) en el plano euclidiano, no es posible en general superponer los dos usando solo traslaciones y rotaciones. Pruebe que esto puede sin embargo lograrse dividiendo uno de los dominios en un número finito de subdominios poligonales que luego encajan, a través de traslaciones y rotaciones en el plano, para recuperar el otro dominio.

Sean $m<n$ dos enteros positivos, sean $I$ y $J$ dos conjuntos de índices tales que $|I|=|J|=n$ y $|I\cap J|=m$ , y sea $u_k$ , $k\in I\cup J$ una colección de vectores en el plano euclidiano tales que \[|\sum_{i\in I}u_i|=1=|\sum_{j\in J}u_j|.\] Pruebe que \[\sum_{k\in I\cup J}|u_k|^2\geq \frac{2}{m+n}\] y encuentre los casos de igualdad.

Dado un entero $n\geq 2$ , determine el valor máximo que la suma $x_1+\cdots+x_n$ puede alcanzar, cuando los $x_i$ recorren los enteros positivos, sujeto a $x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_n$ y $x_1+\cdots+x_n=x_1 x_2\cdots x_n$ .

Pruebe que la circunferencia circunscrita de un triángulo contiene exactamente 3 puntos cuyas líneas de Simson son tangentes al círculo de Euler del triángulo y estos puntos son los vértices de un triángulo equilátero.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito tal que $AD>\max\{AB,BC,CD\}$ , $M$ sea el punto común de $AB$ y $CD$ y $N$ sea el punto común de $AC$ y $BD$ . Demuestre que \[90^{\circ}<m(\angle AND)<90^{\circ}+\frac{1}{2}m(\angle AMD).\]

Pruebe que el pentágono $ ABCDE$ es cíclico si y solo si \[\mathrm{d(}E,AB\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,CD\mathrm{)} = \mathrm{d(}E,AC\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,BD\mathrm{)} = \mathrm{d(}E,AD\mathrm{)}\cdot \mathrm{d(}E,BC\mathrm{)}\] donde $ \mathrm{d(}X,YZ\mathrm{)}$ denota la distancia desde el punto $ X$ a la línea $ YZ$ .

Un cuadrado de lado $N=n^2+1$ , $n\in \mathbb{N}^*$ , se divide en cuadrados unitarios (de lado $1$ ) , a lo largo de $N$ filas y $N$ columnas. Los $N^2$ cuadrados unitarios se colorean usando $N$ colores, $N$ cuadrados con cada color. Pruebe que para cualquier coloración existe una fila o una columna que contiene cuadrados unitarios de al menos $n+1$ colores.

Llamamos regla de Golomb a una regla de longitud $l$ , con $k+1\geq 2$ marcas $0<a_1<\ldots <a_{k-1}<l$ , tal que las longitudes que se pueden medir usando marcas en la regla son enteros consecutivos comenzando con $1$ , y cada una de esas longitudes se puede medir entre solo dos de las graduaciones de la regla. Encuentre todas las reglas de Golomb.

Sea $n \geq 3$ y $a_1,a_2,...,a_n$ números complejos diferentes de $0$ con $|a_i| < 1$ para todo $i \in \{1,2,...,n-1 \}.$ Si los coeficientes de $f = \prod_{i=1}^n (X-a_i)$ son enteros, demuestra que $\textbf{a)}$ Los números $a_1,a_2,...,a_n$ son distintos.\n$\textbf{b)}$ Si $a_j^2 = a_ia_k,$ entonces $i=j=k.$