Los enteros positivos del 1 al $n^2$ se colocan arbitrariamente en los $n^2$ cuadrados de un tablero de ajedrez de $n\times n$. Dos cuadrados se llaman adyacentes si tienen un lado común. Demuestre que dos cuadrados de esquinas opuestas pueden unirse mediante un camino de $2n-1$ cuadrados adyacentes de modo que la suma de los números colocados en ellos sea al menos $\left\lfloor \frac{n^3} 2 \right\rfloor + n^2 - n + 1$.