Encuentra todos los polinomios reales $f$ y $g$ , tales que: \[(x^2+x+1)\cdot f(x^2-x+1)=(x^2-x+1)\cdot g(x^2+x+1), \] para todo $x\in\mathbb{R}$ .

Sean $X,Y,Z,T$ cuatro puntos en el plano. Se dice que los segmentos $[XY]$ y $[ZT]$ están conectados, si existe algún punto $O$ en el plano tal que los triángulos $OXY$ y $OZT$ son rectángulos en $O$ e isósceles. Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que los pares de segmentos $[AB],[CE],$ y $[BD],[EF]$ están conectados. Muestra que los puntos $A,C,D$ y $F$ son los vértices de un paralelogramo y $[BC]$ y $[AE]$ están conectados.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ que satisfacen la desigualdad: \[f(3x+2y)=f(x)f(y)\] para todos los enteros no negativos $x,y$ .

Sean $k$ y $n$ enteros positivos con $n>2$ . Muestra que la ecuación: \[x^n-y^n=2^k\] no tiene soluciones enteras positivas.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo donde $\measuredangle A = 90^\circ$ y $M\in (AB)$ tal que $\frac{AM}{MB}=3\sqrt{3}-4$ . Se sabe que el punto simétrico de $M$ con respecto a la recta $GI$ se encuentra en $AC$ . Encuentra la medida de $\measuredangle B$ .

Sea $ab+bc+ca=1$ . Muestra que \[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\sqrt{3}+\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\]

El prisma recto $[A_1A_2A_3\ldots A_nA_1'A_2'A_3'\ldots A_n'],n\in\mathbb{N},n\ge 3$ , tiene un polígono convexo como su base. Se sabe que $A_1A_2'\perp A_2A_3',A_2A_3'\perp A_3A_4,$\ldots A_{n-1}A_n'\perp A_nA_1', A_nA_1'\perp A_1A_2'$ . Muestra que: $a)$ $n=3$ ; $b)$ el prisma es regular.

Sea $[ABCDEF]$ un tronco de una pirámide regular. Sean $G$ y $G'$ los centroides de las bases $ABC$ y $DEF$ respectivamente. Se sabe que $AB=36,DE=12$ y $GG'=35$ . $a)$ Prueba que los planos $(ABF),(BCD),(CAE)$ tienen un punto común $P$ , y los planos $(DEC),(EFA),(FDB)$ tienen un punto común $P'$ , ambos situados en $GG'$ . $b)$ Encuentra la longitud del segmento $[PP']$ .

Dados los números reales $a,c,d$ muestra que existe como máximo una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisface: \[f(ax+c)+d\le x\le f(x+d)+c\quad\text{para cualquier}\ x\in\mathbb{R}\]

Para cualquier número $n\in\mathbb{N},n\ge 2$ , denotamos por $P(n)$ el número de pares $(a,b)$ cuyos elementos son enteros positivos tales que \[\frac{n}{a}\in (0,1),\quad \frac{a}{b}\in (1,2)\quad \text{y}\quad \frac{b}{n}\in (2,3). \] $a)$ Calcula $P(3)$ . $b)$ Encuentra $n$ tal que $P(n)=2002$ .