Determinar el máximo entero $ n $ tal que para cada entero positivo $ k \le \frac{n}{2} $ hay dos divisores positivos de $ n $ con diferencia $ k $ .

Para cada número real $x$ , sea $||x||$ denote la distancia entre $x$ y el entero más cercano. Demuestra que para cada par $(a, b)$ de enteros positivos existe un primo impar $p$ y un entero positivo $k$ que satisface \[\displaystyle\left|\left|\frac{a}{p^k}\right|\right|+\left|\left|\frac{b}{p^k}\right|\right|+\left|\left|\frac{a+b}{p^k}\right|\right|=1.\]

Sea $c \ge 1$ un entero. Define una secuencia de enteros positivos por $a_1 = c$ y \[a_{n+1}=a_n^3-4c\cdot a_n^2+5c^2\cdot a_n+c\] para todo $n\ge 1$. Demuestra que para cada entero $n \ge 2$ existe un número primo $p$ que divide a $a_n$ pero a ninguno de los números $a_1 , \ldots , a_{n -1}$.

Sean $a_1 < a_2 < \cdots <a_n$ enteros positivos coprimos por pares con $a_1$ siendo primo y $a_1 \ge n + 2$. En el segmento $I = [0, a_1 a_2 \cdots a_n ]$ de la recta real, marca todos los enteros que son divisibles por al menos uno de los números $a_1 , \ldots , a_n$. Estos puntos dividen a $I$ en una cantidad de segmentos más pequeños. Demuestra que la suma de los cuadrados de las longitudes de estos segmentos es divisible por $a_1$.

Encuentra todas las ternas $(p, x, y)$ que consisten en un número primo $p$ y dos enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^{p -1} + y$ y $x + y^ {p -1}$ son ambos potencias de $p$.

Sea $M$ un conjunto de $n \ge 4$ puntos en el plano, no tres de los cuales son colineales. Inicialmente estos puntos están conectados con $n$ segmentos de modo que cada punto en $M$ es el punto final de exactamente dos segmentos. Luego, en cada paso, uno puede elegir dos segmentos $AB$ y $CD$ que compartan un punto interior común y reemplazarlos por los segmentos $AC$ y $BD$ si ninguno de ellos está presente en este momento. Demuestre que es imposible realizar $n^3 /4$ o más movimientos de este tipo.

Se nos da una baraja infinita de cartas, cada una con un número real en ella. Para cada número real $x$, hay exactamente una carta en la baraja que tiene $x$ escrito en ella. Ahora, dos jugadores sacan conjuntos disjuntos $A$ y $B$ de $100$ cartas cada uno de esta baraja. Nos gustaría definir una regla que declare a uno de ellos ganador. Esta regla debe satisfacer las siguientes condiciones:\n1. El ganador solo depende del orden relativo de las $200$ cartas: si las cartas se colocan en orden creciente boca abajo y se nos dice qué carta pertenece a qué jugador, pero no qué números están escritos en ellas, aún podemos decidir el ganador.\n2. Si escribimos los elementos de ambos conjuntos en orden creciente como $A =\{ a_1 , a_2 , \ldots, a_{100} \}$ y $B= \{ b_1 , b_2 , \ldots , b_{100} \}$ , y $a_i > b_i$ para todo $i$ , entonces $A$ vence a $B$.\n3. Si tres jugadores sacan tres conjuntos disjuntos $A, B, C$ de la baraja, $A$ vence a $B$ y $B$ vence a $C$ entonces $A$ también vence a $C$.\n¿De cuántas maneras se puede definir tal regla? Aquí, consideramos dos reglas como diferentes si existen dos conjuntos $A$ y $B$ tales que $A$ vence a $B$ según una regla, pero $B$ vence a $A$ según la otra.

Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no hay dos paralelas y no hay tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de rectas en posición general corta el plano en regiones, algunas de las cuales tienen área finita; a estas las llamamos sus regiones finitas. Demuestre que para todo $n$ suficientemente grande, en cualquier conjunto de $n$ rectas en posición general es posible colorear al menos $\sqrt{n}$ rectas de azul de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga un borde completamente azul. Nota: Los resultados con $\sqrt{n}$ reemplazado por $c\sqrt{n}$ recibirán puntos dependiendo del valor de la constante $c$.

Construya un tetrominó uniendo dos dominós de $2 \times 1$ a lo largo de sus lados más largos de manera que el punto medio del lado más largo de un dominó sea una esquina del otro dominó. Esta construcción produce dos tipos de tetrominós con orientaciones opuestas. Llamémoslos tetrominós $S$ y $Z$, respectivamente. Asuma que un polígono reticular $P$ se puede teselar con tetrominós $S$. Demuestre que no importa cómo teselamos $P$ usando solo tetrominós $S$ y $Z$, siempre usamos un número par de tetrominós $Z$.

Sea $n \ge 2$ un entero. Considere un tablero de ajedrez de $n \times n$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios. Una configuración de $n$ torres en este tablero es pacífica si cada fila y cada columna contiene exactamente una torre. Encuentre el mayor entero positivo $k$ tal que, para cada configuración pacífica de $n$ torres, haya un cuadrado de $k \times k$ que no contenga una torre en ninguno de sus $k^2$ cuadrados unitarios.