Determinar el número más grande, que es el producto de algunos enteros positivos, y la suma de estos números es $1976.$

Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos coplanares cualesquiera. Sea $L$ un punto tal que $AL || BC, A'L || B'C'$ , y $M,N$ se definen de manera similar. La línea $BC$ se encuentra con $B'C'$ en $P$ , y de manera similar se definen $Q$ y $R$ . Pruebe que $PL, QM, RN$ son concurrentes.

Una secuencia $\{ u_n \}$ de enteros se define por \[u_1 = 2, u_2 = u_3 = 7,\] \[u_{n+1} = u_nu_{n-1} - u_{n-2}, \text{ for }n \geq 3\] Pruebe que para cada $n \geq 1$ , $u_n$ difiere en $2$ de un cuadrado integral.

Una secuencia $(u_{n})$ se define por \[ u_{0}=2 \quad u_{1}=\frac{5}{2}, u_{n+1}=u_{n}(u_{n-1}^{2}-2)-u_{1} \quad \textnormal{for } n=1,\ldots \] Pruebe que para cualquier entero positivo $n$ tenemos \[ [u_{n}]=2^{\frac{(2^{n}-(-1)^{n})}{3}} \] (donde $[x]$ denota el entero más pequeño $\leq x)$

Cinco puntos se encuentran en la superficie de una bola de radio unitario. Encuentre el máximo de la distancia más pequeña entre dos de ellos.

Sean $P_{1}(x)=x^{2}-2$ y $P_{j}(x)=P_{1}(P_{j-1}(x))$ para j $=2,\ldots$ Pruebe que para cualquier entero positivo n las raíces de la ecuación $P_{n}(x)=x$ son todas reales y distintas.

Determine el mayor número, que es el producto de algunos enteros positivos, y la suma de estos números es $1976.$

¿Existen enteros $a$ y $b$ tales que ninguno de los números $a,a+1,\ldots,a+2023,b,b+1,\ldots,b+2023$ divide a ninguno de los $4047$ otros números, pero $a(a+1)(a+2)\cdots(a+2023)$ divide a $b(b+1)\cdots(b+2023)$ ?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, con $\measuredangle ABC > 90^\circ$ , $\measuredangle CDA > 90^\circ$ y $\measuredangle DAB = \measuredangle BCD$ . Sean $E$ , $F$ y $G$ las reflexiones de $A$ con respecto a las líneas $BC$ , $CD$ y $DB$ . Finalmente, sea la línea $BD$ la que se cruza con el segmento de línea $AE$ en un punto $K$ , y el segmento de línea $AF$ en un punto $L$ . Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí en $G$ .

Sea $k$ un entero positivo. Rico McPato posee $k$ monedas de oro. También posee infinitas cajas $B_1, B_2, B_3, \ldots$ Inicialmente, la caja $B_1$ contiene una moneda, y las $k-1$ monedas restantes están en la mesa de McPato, fuera de cada caja. Entonces, Rico McPato se permite hacer el siguiente tipo de operaciones, tantas veces como quiera: - si dos cajas consecutivas $B_i$ y $B_{i+1}$ contienen ambas una moneda, McPato puede quitar la moneda contenida en la caja $B_{i+1}$ y ponerla en su mesa; - si una caja $B_i$ contiene una moneda, la caja $B_{i+1}$ está vacía, y McPato todavía tiene al menos una moneda en su mesa, puede tomar tal moneda y ponerla en la caja $B_{i+1}$ . Como función de $k$ , ¿cuáles son los enteros $n$ para los cuales Rico McPato puede poner una moneda en la caja $B_n$ ?