Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB\neq AC$, con circuncírculo $ \Gamma$ y circuncentro $O$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ un punto en $ \Gamma$ tal que $AD \perp BC$. Sea $T$ un punto tal que $BDCT$ es un paralelogramo y $Q$ un punto en el mismo lado de $BC$ que $A$ tal que $\angle{BQM}=\angle{BCA}$ y $\angle{CQM}=\angle{CBA}$. Sea la línea $AO$ que interseca a $ \Gamma$ en $E$ $(E\neq A)$ y sea el circuncírculo de $\triangle ETQ$ que interseca a $ \Gamma$ en el punto $X\neq E$. Demuestra que los puntos $A,M$ y $X$ son colineales.

Considera el triángulo $ABC$ tal que $AB \le AC$. El punto $D$ en el arco $BC$ del circuncírculo de $ABC$ que no contiene al punto $A$ y el punto $E$ en el lado $BC$ son tales que $\angle BAD = \angle CAE < \frac12 \angle BAC$. Sea $S$ el punto medio del segmento $AD$. Si $\angle ADE = \angle ABC - \angle ACB$ demuestra que $\angle BSC = 2 \angle BAC$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB$ es el lado más corto del triángulo. Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ y $P$ un punto interior del triángulo tal que $\angle CAP = \angle CBP = \angle ACB$. Denotemos por $M$ y $N$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a $BC$ y $AC$, respectivamente. Sea $p$ la línea que pasa por $M$ paralela a $AC$ y $q$ la línea que pasa por $N$ paralela a $BC$. Si $p$ y $q$ se intersecan en $K$ demuestra que $D$ es el circuncentro del triángulo $MNK$.

Dado un paralelogramo $ABCD$. La línea perpendicular a $AC$ que pasa por $C$ y la línea perpendicular a $BD$ que pasa por $A$ se intersecan en el punto $P$. El círculo con centro en el punto $P$ y radio $PC$ interseca la línea $BC$ en el punto $X$, ($X \ne C$) y la línea $DC$ en el punto $Y$, ($Y \ne C$). Demuestra que la línea $AX$ pasa por el punto $Y$.

Tenemos dos montones con $2000$ y $2017$ monedas respectivamente. Ann y Bob toman turnos alternados haciendo los siguientes movimientos: El jugador cuyo turno es mover elige un montón con al menos dos monedas, elimina de ese montón $t$ monedas para algún $2\le t \le 4$, y agrega al otro montón $1$ moneda. Los jugadores pueden elegir un $t$ diferente en cada turno, y el jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Si Ann juega primero, determine qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Considera un 2n-gono regular $ P$, $A_1,A_2,\cdots ,A_{2n}$ en el plano, donde $n$ es un entero positivo. Decimos que un punto $S$ en uno de los lados de $P$ puede ser visto desde un punto $E$ que es externo a $P$, si el segmento de línea $SE$ no contiene otros puntos que se encuentren en los lados de $P$ excepto $S$. Coloreamos los lados de $P$ en 3 colores diferentes (ignore los vértices de $P$, los consideramos incoloros), de tal manera que cada lado esté coloreado en exactamente un color, y cada color se use al menos una vez. Además, desde cada punto en el plano externo a $P$, se pueden ver puntos de como máximo 2 colores diferentes en $P$. Encuentra el número de coloraciones distintas de $P$ (dos coloraciones se consideran distintas si al menos uno de los lados está coloreado de manera diferente).

Considera un $2n + 1$ - gono regular $P$ en el plano, donde n es un entero positivo. Decimos que un punto $S$ en uno de los lados de $P$ puede ser visto desde un punto $E$ que es externo a $P$, si el segmento de línea $SE$ no contiene otros puntos que se encuentren en los lados de $P$ excepto $S$. Queremos colorear los lados de $P$ en $3$ colores, de tal manera que cada lado esté coloreado en exactamente un color, y cada color debe usarse al menos una vez. Además, desde cada punto en el plano externo a $P$, se pueden ver como máximo $2$ colores diferentes en $P$ (ignore los vértices de $P$, los consideramos incoloros). Encuentra el entero positivo más grande para el cual tal coloración es posible.

Sea $a\le b\le c \le d$ demuestra que: $$ab^3+bc^3+cd^3+da^3\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2$$

El área de un pentágono convexo $ABCDE$ es $S$ , y los circunradios de los triángulos $ABC$ , $BCD$ , $CDE$ , $DEA$ , $EAB$ son $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ , $R_5$ . Demostrar la desigualdad \[ R_1^4+R_2^4+R_3^4+R_4^4+R_5^4\geq {4\over 5\sin^2 108^\circ}S^2. \]

Sea $ A_n $ el conjunto de particiones de la secuencia $ 1,2,..., n $ en varias subsecuencias tales que cada dos términos vecinos de cada subsecuencia tienen diferente paridad, y $ B_n $ el conjunto de particiones de la secuencia $ 1,2,..., n $ en varias subsecuencias tales que todos los términos de cada subsecuencia tienen la misma paridad (por ejemplo, la partición $ {(1,4,5,8),(2,3),(6,9),(7)} $ es un elemento de $ A_9 $ , y la partición $ {(1,3,5),(2,4),(6)} $ es un elemento de $ B_6 $ ). Demostrar que para cada entero positivo $ n $ los conjuntos $ A_n $ y $ B_{n+1} $ contienen el mismo número de elementos.