Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sean $X$ , $Y$ y $Z$ los incentros de los triángulos $BIC$ , $CIA$ y $AIB$ , respectivamente. Sea el triángulo $XYZ$ equilátero. Pruebe que $ABC$ es equilátero también.

Sean los lados $AD$ y $BC$ del cuadrilátero $ABCD$ (tal que $AB$ no es paralelo a $CD$ ) se intersecan en el punto $P$ . Los puntos $O_1$ y $O_2$ son circuncentros y los puntos $H_1$ y $H_2$ son ortocentros de los triángulos $ABP$ y $CDP$ , respectivamente. Denotemos los puntos medios de los segmentos $O_1H_1$ y $O_2H_2$ por $E_1$ y $E_2$ , respectivamente. Pruebe que la perpendicular de $E_1$ sobre $CD$ , la perpendicular de $E_2$ sobre $AB$ y las líneas $H_1H_2$ son concurrentes.

Sea $P$ un polígono que es convexo y simétrico a algún punto $O$ . Pruebe que para algún paralelogramo $R$ que satisface $P\subset R$ tenemos \[\frac{|R|}{|P|}\leq \sqrt 2\] donde $|R|$ y $|P|$ denotan el área de los conjuntos $R$ y $P$ , respectivamente.

Sea $ABCD$ un tetraedro que tiene cada suma de lados opuestos igual a $1$. Demostrar que \[r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{\sqrt 3}{3}\] donde $r_A, r_B, r_C, r_D$ son los inradios de las caras, la igualdad se cumple solo si $ABCD$ es regular.

Resolver la ecuación $a^3+b^3+c^3=2001$ en enteros positivos.

Alice y Bob juegan el siguiente juego. Para empezar, Alice ordena los números $1,2,\ldots,n$ en algún orden en una fila y luego Bob elige uno de los números y coloca una piedra sobre él. El turno de un jugador consiste en recoger y colocar la piedra en un número adyacente bajo la restricción de que la piedra se puede colocar en el número $k$ a lo sumo $k$ veces. Los dos jugadores se turnan comenzando con Alice. El primer jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Para cada entero positivo $n$ , determina quién tiene una estrategia ganadora.

Halla los valores mínimo y máximo de $ S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d} $ donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son enteros positivos que satisfacen $a + c = 20202$ y $b + d = 20200$ .

Sean $r_2, r_3,\ldots, r_{1000}$ los residuos cuando un entero positivo impar se divide por $2,3,\ldots,1000$ , respectivamente. Se sabe que los residuos son distintos dos a dos y uno de ellos es $0$ . Halla todos los valores de $k$ para los cuales es posible que $r_k = 0$ .

Halla todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(x+y)=f(x)+f(y) \] para todo $x,y\in\mathbb{N}$ satisfaciendo $10^6-\frac{1}{10^6} < \frac{x}{y} < 10^6+\frac{1}{10^6}$ . \nNota: $\mathbb{N}$ denota el conjunto de los enteros positivos y $\mathbb{R}$ denota el conjunto de los números reales.

El triángulo acutángulo $ABP$ , donde $AB > BP$ , tiene alturas $BH$ , $PQ$ , y $AS$ . Sea $C$ la intersección de las líneas $QS$ y $AP$ , y sea $L$ la intersección de las líneas $HS$ y $BC$ . Si $HS = SL$ y $HL$ es perpendicular a $BC$ , halla el valor de $\frac{SL}{SC}$ .